模态分析

广义特征值问题

对连续体进行自由振动分析时，需要进行空间离散化，并建模为图 2.3.1 所示的集中质量多自由度系统。 对于无阻尼自由振动问题，其控制方程（运动方程）如下。

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

其中，\(u\) 为广义位移向量，\(M\) 为质量矩阵，\(K\) 为刚度矩阵。 设固有圆频率为 \(\omega\)，\(a\)、\(b\)、\(c\) 为任意常数，\(x\) 为向量，并定义函数

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

。该表达式的二阶导数为

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

。将这些表达式代入式 \(\eqref{eq:2.3.1}\)，得到

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

。即

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

。

因此，如果能找到满足方程 \(\eqref{eq:2.3.5}\) 的系数 \(\lambda = \omega^2\) 和向量 \(x\)，则函数 \(u(t)\) 是方程 \(\eqref{eq:2.3.1}\) 的解。

系数 \(\lambda\) 称为特征值，向量 \(x\) 称为特征向量，从式 \(\eqref{eq:2.3.1}\) 求取它们的问题称为广义特征值问题。

图 2.3.1　无阻尼自由振动多自由度系统示例

矩阵性质与假设

对于上一节得到的广义特征值问题 \(K x = \lambda M x\)，本手册假设以下矩阵性质。这些假设是后述带移位逆迭代法和 Lanczos 法的收敛性及适用范围的前提。 即，对于复矩阵，其转置矩阵为复共轭；对于实矩阵，则为对称矩阵。具体而言，对于矩阵 \(K\)，若其 \(ij\) 分量为 \(k_{ij}\)，并以 \(\bar{k}\) 表示 \(k\) 的复共轭，则

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

满足如下关系。

本手册中假设矩阵为对称正定矩阵。正定是指所有特征值均为正；换言之，矩阵始终满足下式 \(\eqref{eq:2.3.7}\)。

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

带移位逆迭代法

在有限元结构分析中，实际通常不需要全部特征值，很多情况下只需少数几个低阶特征值即可。 HEC-MW 以处理大规模问题为前提，因此矩阵规模很大且非常稀疏（零元素很多）。 因此，考虑到这一点，高效求取低阶模态的特征值非常重要。

设特征值下限为 \(\sigma\)，则可将式 \(\eqref{eq:2.3.5}\) 变换为下式（数学上等价）。

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

此时，该变换在计算上具有以下有利性质。

1. 模态顺序发生反转。
2. \(\rho\) 附近的特征值被映射为最大值。

实际计算中，通常会先求得最大特征值。因此，与其将主要收敛计算应用于式 \(\eqref{eq:2.3.5}\)，不如应用于式 \(\eqref{eq:2.3.8}\)，以优先求取 \(\rho\) 附近的特征值。该方法称为带移位逆迭代。

Lanczos 法

采用理由（与 Jacobi 法比较）

在经典方法中，Jacobi 法广为人知。

当矩阵规模较小且为稠密矩阵时，该方法有效。 但是，由于 HEC-MW 处理的矩阵规模大且稀疏，因此不采用该方法，而采用 Lanczos 迭代法。

算法与特点

该方法由 C. Lanczos 于 20 世纪 50 年代提出，是一种将矩阵三对角化的算法，具有以下特点。

• 它是一种迭代收敛方法，可在保持矩阵稀疏的情况下进行计算。
• 算法主要由矩阵-向量乘积构成，适合并行化。
• 适合与有限元网格相伴的几何域分解方法。
• 可通过限定所求特征值个数和模态范围进行高效计算。

Lanczos 法从初始向量出发，依次生成正交向量，并构造子空间的基。 据称该方法比另一种迭代法——子空间法更快，因此广泛用于有限元程序。 但是，该方法容易受数值误差影响，向量的正交性可能丧失，从而存在计算中途失效的风险。 因此，对数值误差采取措施是必不可少的。

几何意义（Krylov 子空间）

通过对式 \(\eqref{eq:2.3.8}\) 作如下变量变换

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

，问题可改写为

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

。

对适当的向量 \(q_0\) 施加由矩阵 \(A\) 表示的线性变换（参阅图 2.3.2）。

图 2.3.2　矩阵 \(A\) 对 \(q_0\) 的线性变换

将变换后的向量在其与原向量张成的空间中正交化。 即进行图 2.3.2 所示的 Gram-Schmidt 正交化。 将所得向量记为 \(r_1\)，对其归一化（长度为 1）得到 \(q_1\)（图 2.3.3）。 用同样的算法由 \(q_1\) 得到 \(q_2\)。 此时 \(q_2\) 同时与 \(q_1\)、\(q_0\) 正交（图 2.3.4）。 继续进行相同计算，可得到相互正交的向量，最多达到矩阵的阶数。

图 2.3.3　与 \(q_0\) 正交的向量 \(q_1\)

图 2.3.4　与 \(q_1\) 和 \(q_0\) 正交的向量 \(q_2\)

特别地，Lanczos 法的算法作用于向量序列 \(A q_0\)、\(A q_1\)、\(A q_2\)

换言之，即 \(A q_0\)、\(A^2 q_0\)、\(A^3 q_0\)、,\(A^n q_0\)

的 Gram-Schmidt 正交化。 该向量序列称为 Krylov 序列，其张成的空间称为 Krylov 子空间。 在该空间中进行 Gram-Schmidt 正交化时，可以利用最近的两个向量求得新的向量。 这称为 Lanczos 原理。

三对角化

在上述迭代中，第 i+1 个向量的计算可表示为

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

。其中，

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

。写成矩阵形式为

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

。其中，

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

。也就是说，通过对式 \(\eqref{eq:2.3.13}\) 得到的三对角矩阵进行特征值计算，即可得到特征值。

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