मोडल विश्लेषण¶

सामान्यीकृत स्वयंक मान समस्या¶

सतत पिंड के मुक्त कंपन का विश्लेषण करते समय स्थानिक विविक्तीकरण किया जाता है और चित्र 2.3.1 में दिखाए गए केंद्रित द्रव्यमानों वाले बहु-स्वतंत्रता-डिग्री तंत्र के रूप में मॉडल किया जाता है। अवमंदन-रहित मुक्त कंपन समस्या में शासी समीकरण (गति समीकरण) निम्न है।

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

यहाँ $u$ सामान्यीकृत विस्थापन वेक्टर, $M$ द्रव्यमान मैट्रिक्स और $K$ कठोरता मैट्रिक्स है। अब स्वाभाविक कोणीय आवृत्ति को $\omega$, $a$, $b$, $c$ को मनमाने नियतांक और $x$ को वेक्टर मानकर फलन

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

परिभाषित करें। इस समीकरण तथा इसके द्वितीय अवकलज, अर्थात

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

को समीकरण $\eqref{eq:2.3.1}$ में रखने पर

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

मिलता है। अर्थात

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

प्राप्त होता है।

अर्थात यदि समीकरण $\eqref{eq:2.3.5}$ को संतुष्ट करने वाला गुणांक $\lambda = \omega^2$ और वेक्टर $x$ मिल जाएँ, तो फलन $u(t)$ समीकरण $\eqref{eq:2.3.1}$ का समाधान है।

गुणांक $\lambda$ को स्वयंक मान और वेक्टर $x$ को स्वयंक वेक्टर कहा जाता है; समीकरण $\eqref{eq:2.3.1}$ से इन्हें ज्ञात करने की समस्या को सामान्यीकृत स्वयंक मान समस्या कहा जाता है।

अवमंदन-रहित मुक्त कंपन के बहु-स्वतंत्रता-डिग्री तंत्र का उदाहरण

चित्र 2.3.1　अवमंदन-रहित मुक्त कंपन के बहु-स्वतंत्रता-डिग्री तंत्र का उदाहरण

मैट्रिक्स के गुण और मान्यताएँ¶

पिछले अनुभाग में प्राप्त सामान्यीकृत स्वयंक मान समस्या $K x = \lambda M x$ के लिए इस मैनुअल में निम्न मैट्रिक्स गुण माने जाते हैं। ये मान्यताएँ आगे की शिफ्टेड इनवर्स इटरेशन विधि और Lanczos विधि की अभिसरणशीलता तथा प्रयोज्यता की पूर्वशर्त हैं। अर्थात जटिल मैट्रिक्स के लिए ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स जटिल संयुग्मी से संबंधित होता है और वास्तविक मैट्रिक्स के लिए मैट्रिक्स सममित होता है। यदि मैट्रिक्स $K$ का $ij$ अवयव $k_{ij}$ हो और $k$ के जटिल संयुग्मी को $\bar{k}$ लिखा जाए, तो

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

का संबंध होता है।

इस मैनुअल में मैट्रिक्स को सममित और धनात्मक निश्चित माना जाता है। धनात्मक निश्चित का अर्थ है कि सभी स्वयंक मान धनात्मक हों; दूसरे शब्दों में ऐसा मैट्रिक्स जो नीचे दिए समीकरण $\eqref{eq:2.3.7}$ को सदैव संतुष्ट करे।

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

शिफ्टेड इनवर्स इटरेशन विधि¶

सीमित तत्व विधि द्वारा संरचनात्मक विश्लेषण में व्यावहारिक रूप से सभी स्वयंक मानों की आवश्यकता नहीं होती; प्रायः केवल कुछ निम्न-क्रम के स्वयंक मान पर्याप्त होते हैं। HEC-MW को बड़े पैमाने की समस्याओं के लिए बनाया गया है, इसलिए मैट्रिक्स का आकार बड़ा और बहुत विरल (अधिकांश अवयव शून्य) होता है। इसलिए निम्न-क्रम मोडों के स्वयंक मान कुशलतापूर्वक निकालना महत्वपूर्ण है।

जब स्वयंक मान की निचली सीमा $\sigma$ हो, तो समीकरण $\eqref{eq:2.3.5}$ को निम्न रूप में परिवर्तित किया जाता है (गणितीय रूप से समतुल्य समीकरण)।

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

इस रूप में गणना के लिए निम्न सुविधाजनक गुण मिलते हैं।

मोड का क्रम उलट जाता है।
$\rho$ के आसपास के स्वयंक मान अधिकतम हो जाते हैं।

वास्तविक गणना में सबसे बड़ा स्वयंक मान प्रायः पहले मिलता है। इसलिए मुख्य अभिसरण गणना को समीकरण $\eqref{eq:2.3.5}$ की अपेक्षा समीकरण $\eqref{eq:2.3.8}$ पर लागू किया जाता है, ताकि $\rho$ के आसपास के स्वयंक मान पहले प्राप्त हों। इस विधि को शिफ्टेड इनवर्स इटरेशन कहा जाता है।

Lanczos विधि¶

चयन का कारण (Jacobi विधि से तुलना)¶

शास्त्रीय विधियों में Jacobi विधि व्यापक रूप से जानी जाती है।

यह विधि तब प्रभावी होती है जब मैट्रिक्स का आकार छोटा और मैट्रिक्स घना हो। लेकिन HEC-MW में प्रयुक्त मैट्रिक्स बड़े और विरल होते हैं, इसलिए Jacobi विधि के स्थान पर Lanczos पुनरावृत्त समाधान विधि अपनाई जाती है।

एल्गोरिद्म और विशेषताएँ¶

1950 के दशक में C. Lanczos द्वारा प्रस्तावित यह विधि मैट्रिक्स को त्रिविकर्ण रूप में बदलने का एल्गोरिद्म है और इसमें निम्न विशेषताएँ हैं।

यह पुनरावृत्त अभिसरण विधि है और मैट्रिक्स को विरल रूप में रखते हुए गणना की जा सकती है।
एल्गोरिद्म मुख्यतः मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन पर आधारित है और समानांतरकरण के लिए उपयुक्त है।
यह सीमित तत्व मेश से संबंधित ज्यामितीय डोमेन विभाजन विधि के लिए उपयुक्त है।
आवश्यक स्वयंक मानों की संख्या या मोड सीमा को सीमित करके कुशल गणना की जा सकती है।

Lanczos विधि प्रारंभिक वेक्टर से शुरू होकर क्रमशः परस्पर लंबवत वेक्टर बनाती है और उपस्थान का आधार ज्ञात करती है। यह विधि एक अन्य पुनरावृत्त विधि, subspace विधि, से तेज मानी जाती है और सीमित तत्व प्रोग्रामों में व्यापक रूप से उपयोग होती है। लेकिन यह विधि संगणकीय त्रुटियों से प्रभावित होने के प्रति संवेदनशील है; वेक्टरों की लंबवतता खो सकती है और गणना बीच में विफल हो सकती है। इसलिए त्रुटि-नियंत्रण के उपाय आवश्यक हैं।

ज्यामितीय अर्थ (Krylov उपस्थान)¶

समीकरण $\eqref{eq:2.3.8}$ में निम्न चर-परिवर्तन करने पर

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

समस्या को पुनः लिखने से

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

प्राप्त होता है।

किसी उपयुक्त वेक्टर $q_0$ पर मैट्रिक्स $A$ द्वारा रैखिक रूपांतरण करें (चित्र 2.3.2 देखें)।

$मैट्रिक्स $A$ द्वारा $q_0$ का रैखिक रूपांतरण$

चित्र 2.3.2　मैट्रिक्स $A$ द्वारा $q_0$ का रैखिक रूपांतरण

रूपांतरित वेक्टर को मूल वेक्टर से बने स्थान के भीतर लंबवत किया जाता है। अर्थात चित्र 2.3.2 के अनुसार Gram-Schmidt लंबवीकरण किया जाता है। प्राप्त वेक्टर को $r_1$ मानकर उसे सामान्यीकृत (लंबाई 1) करने पर $q_1$ मिलता है (चित्र 2.3.3)। इसी एल्गोरिद्म से $q_1$ से $q_2$ प्राप्त किया जाता है। इस समय $q_2$, $q_1$ और $q_0$ दोनों के लंबवत होता है (चित्र 2.3.4)। इसी गणना को जारी रखने पर मैट्रिक्स के अधिकतम क्रम तक परस्पर लंबवत वेक्टर प्राप्त किए जा सकते हैं।

$q_0\) के लंबवत वेक्टर \(q_1$

चित्र 2.3.3　$q_0$ के लंबवत वेक्टर $q_1$

$q_1\) और $q_0$ के लंबवत वेक्टर \(q_2$

चित्र 2.3.4　$q_1$ और $q_0$ के लंबवत वेक्टर $q_2$

विशेष रूप से Lanczos विधि का एल्गोरिद्म वेक्टर अनुक्रम $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

अर्थात $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

का Gram-Schmidt लंबवीकरण है। इस वेक्टर अनुक्रम को Krylov अनुक्रम और इससे बने स्थान को Krylov उपस्थान कहा जाता है। इस स्थान में Gram-Schmidt लंबवीकरण करने पर केवल सबसे हाल के दो वेक्टरों का उपयोग करके अगला वेक्टर निकाला जा सकता है। इसे Lanczos सिद्धांत कहा जाता है।

त्रिविकर्णीकरण¶

उपरोक्त पुनरावृत्ति में i+1वीं गणना

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

के रूप में लिखी जा सकती है। यहाँ

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

है। इसे मैट्रिक्स रूप में लिखने पर

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

मिलता है। यहाँ

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

है। अर्थात समीकरण $\eqref{eq:2.3.13}$ से प्राप्त त्रिविकर्ण मैट्रिक्स पर स्वयंक मान गणना करके स्वयंक मान प्राप्त किए जाते हैं।