Modal Analiz - FrontISTR Documentation

Genelleştirilmiş Özdeğer Problemi¶

Bir sürekli ortamın serbest titreşim analizinde, Şekil 2.3.1'de gösterildiği gibi bölge uzaysal olarak ayrıklaştırılır ve toplulaştırılmış kütlelerden oluşan çok serbestlik dereceli bir sistem olarak modellenir. Sönümsüz serbest titreşim problemi için yönetici denklem (hareket denklemi) aşağıdaki gibidir.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Burada $u$ genelleştirilmiş yer değiştirme vektörü, $M$ kütle matrisi ve $K$ rijitlik matrisidir. Doğal açısal frekans $\omega$, $a$, $b$ ve $c$ keyfi sabitler, $x$ ise bir vektör olsun. Aşağıdaki fonksiyonu tanımlayın

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Bu ifadenin ikinci türevi

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Bu ifadeler Denklem $\eqref{eq:2.3.1}$'de yerine konursa

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Yani,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

elde edilir.

Böylece, Denklem $\eqref{eq:2.3.5}$ katsayı $\lambda = \omega^2$ ile sağlanıyorsa ve $x$ vektörü bulunabiliyorsa, $u(t)$ fonksiyonu Denklem $\eqref{eq:2.3.1}$'in bir çözümüdür.

$\lambda$ katsayısına özdeğer, $x$ vektörüne özvektör denir. Bunların Denklem $\eqref{eq:2.3.1}$'den belirlenmesi problemine genelleştirilmiş özdeğer problemi denir.

Sönümsüz serbest titreşimde çok serbestlik dereceli sistem örneği

Şekil 2.3.1 Sönümsüz serbest titreşimde çok serbestlik dereceli sistem örneği

Matris Özellikleri ve Varsayımlar¶

Önceki bölümde elde edilen genelleştirilmiş özdeğer problemi $K x = \lambda M x$ için bu kılavuz aşağıdaki matris özelliklerini varsayar. Bu varsayımlar, aşağıda açıklanan kaydırılmış ters iterasyon ve Lanczos yöntemlerinin yakınsama özelliklerinin ve uygulanabilirlik aralığının temelini oluşturur. Karmaşık bir matris için transpoz, karmaşık eşleniği; gerçek bir matris için ise simetrikliği ifade eder. Özellikle $K$ matrisinin $ij$ bileşeni $k_{ij}$, $k$'nın karmaşık eşleniği $\bar{k}$ ile gösterilirse

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

aşağıdaki bağıntı geçerlidir.

Bu kılavuzda matrislerin simetrik ve pozitif tanımlı olduğu varsayılır. Pozitif tanımlı, tüm özdeğerlerin pozitif olduğu anlamına gelir; eşdeğer olarak matris aşağıdaki Denklem $\eqref{eq:2.3.7}$'yi daima sağlar.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Kaydırılmış Ters İterasyon¶

Sonlu eleman yapısal analizinde pratikte genellikle tüm özdeğerlere gerek yoktur; çoğu durumda yalnızca düşük mertebeli birkaç özdeğer yeterlidir. HEC-MW büyük ölçekli problemler için tasarlanmıştır; bu problemlerde matrisler büyük ve çok seyrektir (çok sayıda sıfır eleman içerir). Bu nedenle bu özellik dikkate alınarak düşük mertebeli modların özdeğerlerini verimli biçimde hesaplamak önemlidir.

$\sigma$ özdeğerlerin alt sınırı olsun. Denklem $\eqref{eq:2.3.5}$, matematiksel olarak eşdeğer aşağıdaki biçime dönüştürülebilir.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Bu dönüşüm hesaplama açısından aşağıdaki yararlı özelliklere sahiptir.

Mod sıralaması tersine çevrilir.
$\rho$'ya yakın özdeğerler en büyük değerlere eşlenir.

Gerçek hesaplamada çoğu zaman en büyük özdeğerler önce elde edilir. Bu nedenle Denklem $\eqref{eq:2.3.5}$ yerine ana yakınsama hesabı Denklem $\eqref{eq:2.3.8}$'e uygulanır ve amaç $\rho$'ya yakın özdeğerleri önce elde etmektir. Bu tekniğe kaydırılmış ters iterasyon denir.

Lanczos Yöntemi¶

Kullanım Gerekçesi (Jacobi Yöntemiyle Karşılaştırma)¶

Klasik yöntemler arasında Jacobi yöntemi iyi bilinir.

Bu yöntem matris küçük ve yoğun olduğunda etkilidir. Ancak HEC-MW'nin işlediği matrisler büyük ve seyrek olduğundan Jacobi yöntemi kullanılmaz; bunun yerine iteratif Lanczos yöntemi kullanılır.

Algoritma ve Özellikler¶

C. Lanczos tarafından 1950'lerde önerilen bu yöntem, bir matrisi üç köşegen biçime indirgemeye yönelik bir algoritmadır ve aşağıdaki özelliklere sahiptir.

İteratif yakınsak bir yöntemdir ve matrisi seyrek tutarak ilerleyebilir.
Algoritma esas olarak matris-vektör çarpımlarından oluşur ve paralelleştirmeye çok uygundur.
Sonlu eleman ağlarıyla ilişkili geometrik alan ayrıştırmasına çok uygundur.
Elde edilecek özdeğer sayısı ve mod aralığı sınırlandırılarak verimli hesaplama yapılabilir.

Lanczos yöntemi bir başlangıç vektöründen başlar, ardışık olarak ortogonal vektörler üretir ve bir alt uzay için taban oluşturur. Başka bir iteratif yöntem olan alt uzay yönteminden daha hızlı olduğu söylenir ve sonlu eleman programlarında yaygın olarak kullanılır. Ancak bu yöntem sayısal hatalara duyarlıdır; bu hatalar vektörlerin ortogonalliğini bozabilir ve hesabın çökmesine neden olabilir. Bu nedenle bu tür sayısal hatalara karşı önlemler zorunludur.

Geometrik Yorum (Krylov Alt Uzayı)¶

Denklem $\eqref{eq:2.3.8}$'de aşağıdaki değişken dönüşümü uygulanırsa,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problem şu biçimde yeniden yazılabilir

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

elde edilir.

Uygun bir $q_0$ vektörü için, $A$ matrisiyle temsil edilen doğrusal dönüşümü uygulayın (bkz. Şekil 2.3.2).

$$q_0$'ın $A$ matrisiyle doğrusal dönüşümü$

Şekil 2.3.2 $q_0$'ın $A$ matrisiyle doğrusal dönüşümü

Dönüştürülen vektör, özgün vektörle birlikte gerdiği uzay içinde ortogonalleştirilir. Yani Şekil 2.3.2'de gösterildiği gibi Gram-Schmidt ortogonalleştirmesi uygulanır. Elde edilen vektör $r_1$ olsun. Birim uzunluğa normalize edilerek $q_1$ elde edilir (Şekil 2.3.3). $q_1$'den aynı işlemle $q_2$ elde edilir. Bu noktada $q_2$, hem $q_1$'e hem $q_0$'a ortogonaldir (Şekil 2.3.4). Aynı hesap sürdürülürse matrisin mertebesine kadar birbirine ortogonal vektörler elde edilir.

$q_0\)'a ortogonal bir vektör: \(q_1$

Şekil 2.3.3 $q_0$'a ortogonal bir vektör: $q_1$

$q_1\) ve $q_0$'a ortogonal bir vektör: \(q_2$

Şekil 2.3.4 $q_1$ ve $q_0$'a ortogonal bir vektör: $q_2$

Özellikle Lanczos algoritması $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$ vektör dizisine

veya eşdeğer olarak $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$ dizisine

Gram-Schmidt ortogonalleştirmesi uygular. Bu vektör dizisine Krylov dizisi, gerdiği uzaya ise Krylov alt uzayı denir. Bu uzayda Gram-Schmidt ortogonalleştirmesi yapıldığında, her yeni vektör en son iki vektör kullanılarak elde edilebilir. Buna Lanczos ilkesi denir.

Üç Köşegenleştirme¶

Yukarıdaki iterasyonda (i+1). vektör için hesap şu şekilde yazılabilir

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

burada

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Matris gösterimi kullanıldığında bu ifade

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

burada

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Böylece özdeğerler, Denklem $\eqref{eq:2.3.13}$'ten elde edilen üç köşegen matris için özdeğer problemi çözülerek bulunur.

İlgili Konular¶

Frekans Cevabı Analizi — Modal analiz sonuçlarını kullanan frekans cevabı
Analiz Türleri — Modal analize işlevsel genel bakış