Ana içeriğe geç

Gelişmiş Eleman Formülasyonları

3B Katı Elemanların Formülasyonu bölümünde sunulan standart yer değiştirme tabanlı formülasyon, neredeyse sıkıştırılamaz malzemelere veya eğilmenin baskın olduğu ince cidarlı yapılara uygulandığında kilitlenme (hacimsel kilitlenme veya kesme kilitlenmesi) olarak bilinen aşırı yapay rijitlik gösterir. Bunu önlemek için FrontISTR; B matrisinin veya deformasyon gradyanının yalnızca hacimsel kısmını değiştiren B-bar ve F-bar yöntemlerini, iç serbestlik derecelerine sahip uyumsuz elemanları, basıncı yer değiştirmeden bağımsız bilinmeyen alan olarak ele alan u-p karma elemanları ve levha ile kiriş yapılarına özel MITC kabuk ve kiriş elemanlarını sağlar.

Bu bölüm, bu gelişmiş elemanların ve yapısal elemanların formülasyonlarını eleman bazında özetler.

B-bar Yöntemi

8 düğümlü doğrusal altı yüzlü eleman neredeyse sıkıştırılamaz bir malzeme için kullanıldığında, tek bir eleman içindeki gerinim alanı sabit hacim kısıtıyla çelişebilir ve hacimsel kilitlenme olarak bilinen aşırı rijitliğe yol açabilir. B-bar yöntemi, B matrisinin hacimsel genleşmeye katkıda bulunan bileşenlerini eleman merkezinde değerlendirilen değerlerle değiştirerek bu aşırı kısıtı azaltır [Hughes1980].

Eleman merkezinde \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), şekil fonksiyonlarının uzaysal türevlerinden hesaplanan B matrisi \(\bar{\boldsymbol{B}}\); integrasyon noktası \(\boldsymbol{r}\)'deki normal B matrisi ise \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) olsun. Düğüm \(\alpha\) ve serbestlik derecesi \(i\) için yer değiştirme-gerinim bağıntısında, hacimsel gerinim bileşenleri \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) aşağıdaki terimin eklenmesiyle değiştirilir

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Kesme bileşenleri \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) için normal \(\boldsymbol{B}\) kullanılır. Eleman rijitliği ve iç kuvvet vektörü, elde edilen B-bar matrisi kullanılarak monte edilir.

FrontISTR bu formülasyonu özellikle 8 düğümlü doğrusal altı yüzlü eleman için sağlar (eleman kimliği 361; bkz. Eleman Numaralandırma Sistemi) ve küçük deformasyon, Total Lagrange ve Updated Lagrange formülasyonlarına uygulanabilir.

F-bar Yöntemi

Sonlu deformasyonda hacimsel değişim, deformasyon gradyanı \(\boldsymbol{F}\) üzerinden doğrusal olmayan biçimde girer. F-bar yöntemi [deSouzaNeto1996], B-bar yöntemine benzer bir hacimsel kilitlenme işlemini deformasyon gradyanı düzeyinde uygular.

Eleman merkezi \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\)'da değerlendirilen deformasyon gradyanının hacim oranı \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), bir integrasyon noktasındaki hacim oranı ise \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) olsun. İntegrasyon noktasındaki deformasyon gradyanı şu şekilde değiştirilir

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Böylece \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) olur ve elemanın tamamındaki hacim oranı eleman merkezindeki değere eşitlenir. Değiştirilmiş \(\bar{\boldsymbol{F}}\), gerilme değerlendirmesi ve gerinim-yer değiştirme matrisinin oluşturulması için kullanılır; eleman teğet rijitliği de bu değiştirmeyle ilişkili ek terimleri içerir.

FrontISTR, F-bar yöntemini özellikle 8 düğümlü doğrusal altı yüzlü eleman için uygular ve küçük deformasyonun yanı sıra Total Lagrange / Updated Lagrange doğrusal olmayan geometri formülasyonlarına da uygulanabilir.

Uyumsuz Elemanlar

8 düğümlü doğrusal altı yüzlü eleman, eğilme için gerekli gerinim modlarından yoksundur ve eğilmenin baskın olduğu problemlerde eğilme kilitlenmesi gösterir. Uyumsuz elemanlar [Taylor1976], bu eksikliği gidermek için eleman içine ek yer değiştirme modları getirir.

Eleman düğüm yer değiştirmeleri \(\boldsymbol{u}^e\)'ye ek olarak, yalnızca eleman içinde bulunan uyumsuz mod serbestlik dereceleri \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), eleman başına 3 yön × 3 mod olacak şekilde tanıtılır ve yer değiştirme alanı şu şekilde yaklaşıklandırılır

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Doğal koordinatlar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) için uyumsuz şekil fonksiyonları \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) ve \(M_3 = 1 - \zeta^2\) olarak alınır. Bunlar eleman sınırları arasında sürekliliği garanti etmez, ancak eğilme modlarıyla ilişkili gerinimleri yeniden üretebilen bir iç uzay ekler.

Eleman rijitliği önce dış serbestlik derecesi/iç serbestlik derecesi blok biçiminde monte edilir

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Bu biçimde montajdan sonra, statik yoğunlaştırma \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) kullanarak iç serbestlik derecelerini elimine eder ve yalnızca dış serbestlik derecelerini içeren eleman rijitliğini verir

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ve bu matris global montaja aktarılır.

FrontISTR, uyumsuz elemanı özellikle 8 düğümlü doğrusal altı yüzlü eleman (C3D8IC) için uygular ve küçük deformasyon, Total Lagrange ve Updated Lagrange formülasyonlarına uygulanabilir.

U-P Karma Elemanları

B-bar ve F-bar yöntemleri hacimsel bileşeni yer değiştirme tabanlı bir çerçevede düzeltirken, u-p karma (U-P) elemanı [Bathe1996], basınç \(\lambda\)'yı yer değiştirmeden bağımsız bilinmeyen bir alan olarak tanıtan karma bir formülasyon kullanır. Poisson oranı 0.5'e son derece yakın kauçuk benzeri malzemeler veya plastik deformasyon sonrası metaller gibi neredeyse sıkıştırılamaz malzemelerde, sabit hacim kısıtının yalnızca yer değiştirme alanıyla uygulanması hacimsel kilitlenmeye neden olur; basıncın bağımsız bir değişken olarak ele alınması bu kısıtı gevşetir.

Gerilme, deviatorik ve basınç bileşenlerine şu şekilde ayrılır

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Burada \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\), elastik matristen hacim modülü \(K\) ile orantılı hacimsel kısmın çıkarılmasıyla elde edilen deviatorik elastik matristir. Basınç \(\lambda\) ile hacimsel gerinim \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\), sıkıştırılabilirlik \(\alpha^{-1} = 1/K\) üzerinden kısıt bağıntısıyla ilişkilidir

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Yer değiştirme \(\boldsymbol{u}\) ve basınç \(\lambda\) bilinmeyenler olarak ayrıklaştırıldığında eleman bağlı sistemi elde edilir

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

burada \(\mathbf{K}_{uu}\) deviatorik elastik katkıyı ve sonlu deformasyon durumunda geometrik rijitliği içerir; \(\mathbf{K}_{up}\) hacimsel gerinim ile basıncı bağlar; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ise basınç stabilizasyon terimidir (\(\boldsymbol{N}_p\) basınç şekil fonksiyonudur). Basınç serbestlik dereceleri elemanın içinde olduğundan,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

bu biçimde statik yoğunlaştırma uygulanır ve yalnızca dış (yer değiştirme) serbestlik derecelerini içeren etkin rijitlik global montaja aktarılır.

FrontISTR, U-P elemanını özellikle 8 düğümlü doğrusal altı yüzlü eleman için, eleman başına bir basınç serbestlik derecesiyle (eleman içinde sabit) uygular. Küçük deformasyon, Total Lagrange ve Updated Lagrange formülasyonlarına uygulanabilir. Updated Lagrange'da deviatorik gerilme objektif bir gerilme hızı (Jaumann/Hughes-Winget tipi) kullanılarak güncellenir ve ardından basınç \(\lambda\,\boldsymbol{I}\), statik yoğunlaştırmayla elde edilen değer kullanılarak uygulanır.

Kabuk Elemanları

Reissner-Mindlin levha/kabuk teorisine dayalı kabuk elemanları ince cidarlı levha ve kabuk yapılar için kullanılır. Kalınlık azaldıkça, düşük mertebeli yer değiştirme tabanlı levha/kabuk elemanları hacimsel kilitlenmeye benzer bir mekanizmayla enine kesme gerinimini fazla tahmin eder (kesme kilitlenmesi) ve eğilme modlarının rijitliğinin aşırı artmasına neden olur. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) yöntemi [Dvorkin1984] [Bathe1986], yalnızca kesme-gerinim bileşenlerini elemandaki önceden belirlenmiş tying noktalarında yeniden örnekleyip bu değerleri tekrar elemanın tamamına enterpole ederek bu sorunu önler.

Bir MITC kabuk elemanının düğümleri orta yüzey üzerinde bulunur ve her düğümün altı serbestlik derecesi vardır: üç öteleme bileşeni ve orta yüzey normal koordinat sistemi etrafında üç dönme bileşeni. Eleman rijitliği, orta yüzey doğal koordinatları ve kalınlık yönü boyunca üç boyutlu Gauss integrasyonuyla değerlendirilir; kalınlık \(h\) bünye değerlendirmesi sırasında bir eleman özelliği olarak verilir.

FrontISTR, tek bir orta yüzey katmanıyla temsil edilen MITC3 (eleman kimliği 731), MITC4 (741) ve MITC9 (743) ile düğümleri kalınlık boyunca iki katmanda düzenlenmiş katmanlı kabuk elemanları MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 düğüm, düğüm başına 3 serbestlik derecesi) ve MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 düğüm, düğüm başına 3 serbestlik derecesi) sağlar. Katmanlı kabuk elemanlarında düğüm serbestlik dereceleri yalnızca üç öteleme bileşeninden oluşurken, dönme serbestlik derecelerine karşılık gelen eğilme modları iki katmanlı düzenle temsil edilir.

Kiriş Elemanları

Kirişler ve çerçeve yapıları gibi çizgisel elemanlar kiriş elemanlarıyla ayrıklaştırılır. FrontISTR, kesme deformasyonunu hesaba katan ve hem eğilmeyi hem de kesmeyi öteleme ve dönme serbestlik derecelerinin fonksiyonları olarak ifade eden bir Timoshenko kiriş formülasyonu kullanır.

Her kiriş düğümünün altı serbestlik derecesi vardır: üç öteleme bileşeni ve kiriş ekseni ile enine eksenler etrafında üç dönme bileşeni. Eleman rijitliği kiriş ekseni boyunca tek boyutlu sayısal integrasyonla değerlendirilir. Kesit alanı \(A\) ve eğilme ile burulma yönlerindeki ikinci alan momentleri \(I\) kiriş kesit özellikleri olarak verilir; bunlar malzemenin Young modülü \(E\) ve kayma modülü \(G\) ile birlikte eksenel, eğilme, burulma ve kesme rijitliklerini tanımlar.

FrontISTR, 2 düğümlü düz kiriş elemanı (eleman kimliği 611) ve 3 düğümle temsil edilen 4 düğümlü tetrahedral katı-kiriş hibrit elemanı (641, karma serbestlik dereceleri için) sağlar.

İlgili Konular