Ana içeriğe geç

Şekil Fonksiyonlarının Uzaysal Türevleri

Şekil Fonksiyonları ve Sonlu Eleman Yaklaşımı'nda tanıtılan şekil fonksiyonları \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), bir elemanın yerel koordinatları olan doğal koordinatlar \(\boldsymbol{r}\)'nin fonksiyonları olarak verilir. Buna karşılık, gerinim-yer değiştirme bağıntısı aracılığıyla zayıf biçimdeki integrandlar fiziksel koordinatlara (referans konfigürasyonu \(\boldsymbol{X}\) veya güncel konfigürasyon \(\boldsymbol{x}\)) göre kısmi türevler, yani \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) veya \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) içerir. Bu bölüm, bu şekil fonksiyonlarının uzaysal türevlerini eleman düğüm koordinatlarından ve doğal koordinatlara göre türevlerden hesaplama yordamını düzenler.

Zincir Kuralıyla Uzaysal Türevlerin İfadesi

\(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) enterpolasyon formülü (önceki bölüm) altında zincir kuralı uygulanıp, doğal koordinatlardan fiziksel koordinatlara eşlemenin Jacobian matrisi \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) kullanıldığında

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

elde edilir.

Burada \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ve \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), \(\alpha\) satırının \(\alpha\) düğümü için kısmi türev vektörünü temsil ettiği matrislerdir; her biri \(n_e \times 3\) matristir.

Jacobian Matrisinin Oluşturulması

Enterpolasyon formülü \(\boldsymbol{r}\)'ye göre türevlendiğinde

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

elde edilir.

Böylece Jacobian matrisi doğrudan eleman düğüm koordinatları \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ve doğal-koordinat türevleri \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)'den oluşturulabilir. Doğal-koordinat türevleri şekil fonksiyonlarının fonksiyonel biçimiyle belirlenir ve her eleman türü için önceden uygulanmıştır.

Jacobian matrisinin determinantı \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\), sayısal integrasyonda hacim elemanını \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) biçiminde dönüştürmek için kullanılır. Determinant \(0\) olursa eleman dejenere olur ve hesaplama başarısız olur.

Hesaplama Akışı

Yukarıdaki türetimden, uzaysal türevlerin \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) hesaplanması aşağıdaki dört aşamaya ayrılabilir.

  1. Doğal-koordinat türevlerini hesaplayın: Girdi olarak eleman türünü ve değerlendirme noktasının doğal koordinatları \(\boldsymbol{r}\)'yi kullanarak doğal-koordinat türev matrisi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)'yi hesaplayın. Şekil fonksiyonlarının fonksiyonel biçimi eleman türüne göre değiştiği için işlem eleman türüne göre dallanır.
  2. Jacobian matrisini hesaplayın: Eleman düğüm koordinatları \(\boldsymbol{X}^e\) ve \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)'den, önceki bölümdeki denklemi kullanarak Jacobian matrisi \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\)'yi oluşturun.
  3. Ters matrisi ve determinantı hesaplayın: Jacobian matrisinin tersi \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ve determinantını hesaplayın. Determinant, sayısal integrasyondaki ağırlıklandırmada kullanılır.
  4. Uzaysal türevleri hesaplayın: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ve \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)'den, bunların çarpımı olarak uzaysal türevler \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)'i elde edin.

Bu dört aşama eleman türüne ve uzaysal boyuta (iki veya üç boyut) göre dallanır, ancak genel akış ortaktır.

Referans ve Güncel Konfigürasyonların Ortak Ele Alınması

Yukarıdaki yordam, \(\boldsymbol{X}^e\) yerine güncel düğüm koordinatları \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) konularak da doğrudan uygulanabilir ve güncel konfigürasyondaki uzaysal türevler \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) elde edilir. Böylece Total Lagrangian ve Updated Lagrangian formülasyonları arasında yalnızca girdi düğüm koordinatları değiştirilerek aynı yordam ortaklaşa kullanılabilir.

İlgili Konular