Ana içeriğe geç

Elastoplastisite

Bu bölüm, FrontISTR tarafından kullanılan elastoplastik bünye yasasının çerçevesini ele alır. Seçim ve giriş belirtimlerinin ayrıntıları için işlevler bölümündeki 03_material kısmına bakın.

Olgu (Plastik Deformasyon)

TBD (bir sonraki aşamada yazılacaktır).

Bünye Yasasının Çerçevesi

FrontISTR, ilişkili akma kuralına dayanan bir elastoplastik bünye denklemi kullanır. Bu bünye denklemi, Kirchhoff gerilmesinin Jaumann türevi ile deformasyon hızı tensörü arasındaki ilişkiyi ifade eder ve deformasyon analizinde updated Lagrange formülasyonu kullanılır.

Bir elastoplastik malzemenin akma koşulunun aşağıdaki gibi verildiğini varsayalım.

Başlangıç akma koşulu:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Sonraki akma koşulu:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

burada,

  • \(F\): akma fonksiyonu
  • \(\sigma_{y_0}\): başlangıç akma gerilmesi
  • \(\sigma_y\): sonraki akma gerilmesi
  • \(\sigma\): gerilme tensörü
  • \(e\): sonsuz küçük gerinim tensörü
  • \(e^p\): plastik gerinim tensörü
  • \(\overline{e}^p\): eşdeğer plastik gerinim

Akma gerilmesi–eşdeğer plastik gerinim ilişkisinin, tek eksenli durumdaki gerilme–plastik gerinim ilişkisiyle çakıştığı varsayılır.

Tek eksenli durumda gerilme–plastik gerinim ilişkisi

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

burada \(H'\) gerinim pekleşmesi modülüdür.

Eşdeğer gerilme–eşdeğer plastik gerinim ilişkisi

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Genel olarak sonraki akma fonksiyonu sıcaklığın ve plastik gerinim işinin bir fonksiyonudur; ancak basitlik için burada yalnızca eşdeğer plastik gerinim \(\overline{e}^p\)'nin bir fonksiyonu olduğu varsayılır. Plastik deformasyon ilerlerken \(F = 0\) koşulu sürekli sağlanmalıdır; dolayısıyla aşağıdaki denklem geçerli olmalıdır.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Burada \(\dot{F}\), \(F\)'nin zamana göre türevini gösterir. Bundan sonra bir \(A\) büyüklüğünün zamana göre türevi \(\dot{A}\) ile gösterilecektir.

Bir plastik potansiyel \(\Theta\) bulunduğunu varsayalım ve plastik gerinim hızını aşağıdaki denklemle ifade edelim.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Burada \(\dot{\lambda}\) bir katsayıdır.

Ayrıca plastik potansiyel \(\Theta\)'nın akma fonksiyonu \(F\)'ye eşit olduğu varsayılarak aşağıdaki ilişkili akma kuralı kullanılır.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Bu denklem tutarlılık koşuluna yerine konulduğunda aşağıdaki denklem elde edilir.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Burada \(D\) elastisite matrisidir ve

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastik gerilme–gerinim ilişkisi aşağıdaki gibi yazılabilir.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Elastoplastik malzemenin akma fonksiyonu \(F\) bilindiğinde, bünye denklemi bu ifadeden elde edilir.

Akma Fonksiyonları

Aşağıda FrontISTR tarafından kullanılan elastoplastik akma fonksiyonları listelenmiştir.

Von Mises Akma Fonksiyonu

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Burada \(J_2\), deviatorik gerilme tensörünün ikinci değişmezidir.

Mohr-Coulomb Akma Fonksiyonu

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Burada \(\sigma_1, \sigma_3\) sırasıyla en büyük ve en küçük asal gerilmelerdir; \(c\) kohezyon, \(\phi\) ise içsel sürtünme açısıdır.

Drucker-Prager Akma Fonksiyonu

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Burada malzeme sabitleri \(\alpha\) ve \(\sigma_y\), malzemenin kohezyonu ve sürtünme açısından aşağıdaki şekilde hesaplanır.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

İlgili Konular