탄소성¶

이 장에서는 FrontISTR가 채택하는 탄소성 구성 법칙의 틀을 다룬다. 선택과 입력 지정에 대한 자세한 내용은 기능 편 03_material을 참조한다.

현상(소성 변형)¶

TBD(다음 단계에서 본문화).

구성 법칙의 틀¶

FrontISTR에서는 연관 유동 법칙에 따르는 탄소성 구성식을 채택하고 있다. 또한 이 구성식은 Kirchhoff 응력의 Jaumann 속도와 변형 속도 텐서의 관계를 나타내며, 변형 해석에는 updated Lagrange법을 적용한다.

탄소성체의 항복 조건이 다음과 같이 주어진다고 한다.

초기 항복 조건:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

후속 항복 조건:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

여기서

\(F\): 항복 함수
\(\sigma_{y_0}\): 초기 항복 응력
\(\sigma_y\): 후속 항복 응력
\(\sigma\): 응력 텐서
\(e\): 미소 변형률 텐서
\(e^p\): 소성 변형률 텐서
\(\overline{e}^p\): 등가 소성 변형률

항복 응력-등가 소성 변형률 관계는 단축 상태의 응력-소성 변형률 관계와 일치한다고 한다.

단축 상태의 응력-소성 변형률 관계

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

여기서 \(H'\)는 변형 경화 계수이다.

등가 응력-등가 소성 변형률 관계

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

후속 항복 함수는 일반적으로 온도와 소성 변형률 일의 함수이지만, 여기서는 단순화를 위해 등가 소성 변형률 \(\overline{e}^p\)만의 함수라고 한다. 소성 변형이 진행되는 동안 \(F = 0\)이 계속 만족되어야 하므로 다음 식이 성립해야 한다.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

여기서 \(\dot{F}\)는 \(F\)의 시간 미분을 나타낸다. 이후 어떤 양 \(A\)의 시간 미분을 \(\dot{A}\)로 나타낸다.

여기서 소성 포텐셜 \(\Theta\)의 존재를 가정하고 소성 변형률 속도를 다음 식으로 표현한다.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

여기서 \(\dot{\lambda}\)는 계수이다.

또한 소성 포텐셜 \(\Theta\)가 항복 함수 \(F\)와 같다고 하여 다음의 연관 유동 법칙을 가정한다.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

이 식을 정합 조건식에 대입하면 다음 식을 얻는다.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

여기서 \(D\)는 탄성 행렬이며,

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

탄소성의 응력-변형률 관계식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

탄소성 재료의 항복 함수 \(F\)를 알면 이 식으로부터 그 구성식을 얻을 수 있다.

항복 함수¶

아래에 FrontISTR가 채택하는 탄소성 항복 함수를 열거한다.

Von Mises 항복 함수¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

여기서 \(J_2\)는 편차 응력 텐서의 제2 불변량이다.

Mohr-Coulomb 항복 함수¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

여기서 \(\sigma_1, \sigma_3\)는 최대·최소 주응력, \(c\)는 점착력, \(\phi\)는 내부 마찰각이다.

Drucker-Prager 항복 함수¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

여기서는 재료 상수 \(\alpha\)와 \(\sigma_y\)를 재료의 점착력과 마찰각으로부터 다음과 같이 계산한다.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]