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외력의 가상일과 전체 방정식의 조립

내력 가상일의 이산화에서는 약형의 좌변을 요소 내력 벡터 \(\boldsymbol{q}^e\)(UL 법) 또는 \(\boldsymbol{Q}^e\)(TL 법)로 정리했다. 이 장에서는 외력의 가상일로부터 요소 절점 외력 벡터 \(\boldsymbol{F}^e\)를 도입하고, 요소 절점 물리량을 전체 절점 번호로 재배열하여 집계하는 조립 연산을 거쳐 FrontISTR의 비선형 구조 해석이 풀어야 하는 절점 변위에 관한 비선형 방정식계에 도달한다.

외력 가상일의 요소 분해

가상일의 원리의 우변은 체적력(물체력)과 역학적 경계에서의 규정 표면력으로 이루어진 외력의 가상일로서 요소별로 분해할 수 있다. 형상 함수와 유한요소 근사에서 도입한 변위 보간을 행렬 형식으로 쓰기 위해, 절점 \(\alpha\)의 형상 함수 \(N_\alpha^e\)를 대각에 배치한 \(d \times d\) 블록 \(\boldsymbol{N}_\alpha\)와 이를 가로로 나열한 \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)를 사용하여 \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)로 둔다. 이를 기준 배치로 쓴 외력의 가상일에 대입하면

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

를 얻는다. 여기서 요소 절점 외력 벡터를 \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)로 배열했다. 이에 따라 외력의 가상일은 내력 측과 동일한 「요소 절점 벡터 × 시험 함수」의 형태로 정리된다(현재 배치로 써도 \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)로 치환하면 같은 형태가 된다).

요소 절점 물리량의 조립

요소별로 얻은 절점 물리량 \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\)를 전체 절점 번호 순으로 배열한 전체 벡터에 집계한다. 요소 \(\Omega^e\)의 요소 내 절점 번호 \(\alpha\)에 대응하는 전체 절점 번호를

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

로 나타내면 요소 절점 물리량은 전체 절점 물리량의 대응 성분과 일치한다(\(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\) 등). 일반적으로 절점 \(i_g\)는 여러 요소가 공유하므로, 전체 절점 번호가 \(i_g\)가 되는 \((e, \alpha)\)의 조합을 모은 집합

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

을 사용하여 \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\)로 합을 다시 쓰면, 전체 절점 \(n_g\)에 걸친 절점 내력 및 전체 내력 벡터

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

를 얻는다. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\)는 절점 \(i_g\)에 작용하는 요소 절점 내력의 합력에 해당하며, 외력이 작용하지 않고 평형을 이루고 있다면 \(\boldsymbol{0}\)이 되는 양이다. UL 법에서도 같은 절차로 \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\)를 얻으며 값으로는 \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\)이므로, 이하에서는 구분이 필요한 곳을 제외하고 \(\boldsymbol{Q}\)로 통일한다. 전체 외력 벡터 \(\boldsymbol{F}\)도 같은 집계로 얻어진다.

구현에서는 집합 \(\mathcal{E}(i_g)\)를 명시적으로 만들지 않고 요소 루프 안에서 대응 성분에 더한다.

전체 내력 벡터 Q를 0으로 초기화: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (요소 수)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

전체 외력 벡터 \(\boldsymbol{F}\)도 같은 절차로 구성된다. 전체 절점 번호로 번호가 매겨진 벡터·행렬에 요소 절점 물리량을 더하여 저장하는 이 연산을 조립(assemble)이라고 한다. 두 절점 번호에 대한 2계 텐서(강성 행렬 등)에 대해서는 집합 \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\)를 사용하여 같은 종류의 조립 연산을 얻을 수 있다(구체적인 구성은 접선 강성 행렬 참조).

풀어야 할 비선형 방정식

내력·외력의 조립 결과를 가상일의 원리에 대입하고, 기하학적 경계 조건을 만족하는 임의의 시험 함수 \(\delta\boldsymbol{u}^n\)에 대해 성립한다는 점에서

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

를 얻는다. 증분 해석(증분 해석의 틀)의 문맥에서 시간 첨자 \(_{n+1}\)를 다시 사용하고 전체 절점 벡터를 나타내는 위첨자 \(^n\)을 생략하면, 풀어야 할 방정식은

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

가 된다. 시각 \(t_{n+1}\)에서의 절점 변위 \(\boldsymbol{u}_{n+1}\)를 구하는 이산화된 경계값 문제는 이 변위에 관한 비선형 방정식을 기하학적 경계 조건과 함께 푸는 문제로 귀착된다. 방정식의 선형화와 접선 강성 행렬의 구성은 접선 강성 행렬, 반복 해법은 Newton-Raphson 법에 맡긴다.

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