선형 탄성 정적 해석 (입문)
이 절에서는 미소변형 이론에 기반한 탄성 정적 해석의 정식화를 설명합니다. 응력-변형률 관계에는 선형 탄성을 가정합니다.
이 장은 유한요소 구조 해석의 전체 구성을 이해하기 위한 입문으로, 하나의 장에서 완결되도록 구성되어 있습니다.
가상일의 원리의 일반론(현재 배치 표현, 초기 배치 표현 및 미소변형으로의 귀착)은 가상일의 원리 를 참조하십시오. 선형 탄성 구성 법칙의 자세한 내용은 선형 탄성 , 텐서 및 Voigt 표기 규약은 텐서 표기와 수학적 기초 , 유한변형의 일반 정식화는 운동·변형·변형률 , 비선형 문제의 해법은 접선 강성 행렬 을 참조하십시오.
기본 방정식
미소변형 및 선형 탄성의 가정하에서 고체역학의 경계값 문제는 평형 방정식, 역학적 경계 조건 및 기하학적 경계 조건(본질적 경계 조건)으로 구성됩니다(그림 2.1.1 참조).
\[\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{에서} \ V
\label{eq:2.1.1}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{위에서} \ S_t
\label{eq:2.1.2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{위에서} \ S_u
\label{eq:2.1.3}
\end{equation}\]
여기서 \(\boldsymbol{\sigma}\) 는 Cauchy 응력, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) 는 단위 체적당 체적력, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) 는 지정 표면력, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) 는 지정 변위이며, \(S_t, S_u\) 는 각각 역학적 경계와 기하학적 경계입니다.
그림 2.1.1 고체역학의 경계값 문제(미소변형 문제)
대칭 기울기 연산자 를 사용하면 변형률-변위 관계는 다음과 같습니다.
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}
\label{eq:2.1.4}
\end{equation}\]
선형 탄성 구성 방정식은 다음과 같습니다.
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}
\label{eq:2.1.5}
\end{equation}\]
여기서 \(\boldsymbol{C}\) 는 4차 탄성 텐서입니다.
가상일의 원리
가상일의 원리의 일반 형식(현재 배치 표현, 초기 배치 표현 및 미소변형으로의 귀착)은 가상일의 원리 에 정리되어 있습니다. 미소변형 및 선형 탄성의 가정하에서 약형은 다음과 같습니다.
\[\begin{equation}
\int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV
= \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS
+ \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV
\label{eq:2.1.6}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{위에서} \ S_u
\label{eq:2.1.7}
\end{equation}\]
구성 방정식 \eqref{eq:2.1.5}를 대입하고 Voigt 표기 로 \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) 라고 쓰면, 이산화에 직접 사용하는 다음 형식을 얻습니다.
\[\begin{equation}
\int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV
= \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.10}
\end{equation}\]
가 얻어지며, 여기서 \(D\) 는 선형 탄성 에서 정의한 탄성 행렬입니다. 식 \eqref{eq:2.1.10}과 \eqref{eq:2.1.7}이 아래에서 이산화하는 가상일의 원리를 구성합니다.
이산화와 전체 방정식의 조립
식 \( \eqref{eq:2.1.10} \) 의 가상일의 원리를 유한요소별로 이산화하면 다음과 같습니다.
\[\begin{equation}
\sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV
= \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.11}
\end{equation}\]
각 요소에 대해 요소를 구성하는 절점의 변위를 사용하여 변위장을 다음과 같이 보간합니다.
\[\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U}
\label{eq:2.1.12}
\end{equation}\]
그러면 식 \(\eqref{eq:2.1.4}\) 를 사용하여 변형률은 다음과 같이 주어집니다.
\[\begin{equation}
\hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U}
\label{eq:2.1.13}
\end{equation}\]
식 \(\eqref{eq:2.1.12}\) 와 \(\eqref{eq:2.1.13}\) 을 식 \(\eqref{eq:2.1.11}\) 에 대입하면 다음을 얻습니다.
\[\begin{equation}
\sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U}
= \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.14}
\end{equation}\]
식 \(\eqref{eq:2.1.14}\) 는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[\begin{equation}
\delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F}
\label{eq:2.1.15}
\end{equation}\]
여기서
식 \(\eqref{eq:2.1.16}\) 및 \(\eqref{eq:2.1.17}\) 로 정의되는 행렬과 벡터의 성분은 각 유한요소에 대해 계산하고 중첩하여 조립할 수 있습니다.
\[\begin{equation}
\boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV
\label{eq:2.1.16}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right)
\label{eq:2.1.17}
\end{equation}\]
식 \(\eqref{eq:2.1.15}\) 는 임의의 가상 변위 \(\delta \boldsymbol{U}\) 에 대해 성립하므로 다음 방정식을 얻습니다.
\[\begin{equation}
\boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}
\label{eq:2.1.18}
\end{equation}\]
한편 식 \(\eqref{eq:2.1.3}\) 의 변위 경계 조건은 다음과 같이 표현됩니다.
\[\begin{equation}
\boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}}
\label{eq:2.1.19}
\end{equation}\]
식 \(\eqref{eq:2.1.19}\) 의 구속 조건을 만족하도록 식 \(\eqref{eq:2.1.18}\) 을 풀면 절점 변위 \(\boldsymbol{U}\) 를 구할 수 있습니다.
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