Análise estática elástica linear (introdução)

Esta secção apresenta a formulação da análise estática elástica baseada na teoria das deformações infinitesimais. Assume-se elasticidade linear para a relação tensão–deformação. Este capítulo tem caráter introdutório, destinado a proporcionar uma visão global da análise estrutural pelo método dos elementos finitos, e está organizado para poder ser lido de forma autónoma.

Para a formulação geral do princípio dos trabalhos virtuais (representação na configuração atual, representação na configuração inicial e redução a deformações infinitesimais), consulte Princípio dos trabalhos virtuais; para os detalhes da lei constitutiva elástica linear, consulte Elasticidade linear; para as convenções da notação tensorial e da notação de Voigt, consulte Notação tensorial e fundamentos matemáticos; para a formulação geral de deformações finitas, consulte Movimento, deformação e extensão; e, para os métodos de resolução de problemas não lineares, consulte Matriz de rigidez tangente.

Equações fundamentais

Sob as hipóteses de deformações infinitesimais e elasticidade linear, o problema de valores de fronteira em mecânica dos sólidos é constituído pela equação de equilíbrio, pelas condições de fronteira mecânicas e pelas condições de fronteira geométricas (condições essenciais) (ver Figura 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{em} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{em} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{em} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Aqui, \(\boldsymbol{\sigma}\) é a tensão de Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) é a força de volume por unidade de volume, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) é a tração superficial prescrita, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) é o deslocamento prescrito e \(S_t, S_u\) são, respetivamente, as fronteiras mecânica e geométrica.

Figura 2.1.1 Problema de valores de fronteira em mecânica dos sólidos (problema de deformações infinitesimais)

Utilizando o operador gradiente simétrico, a relação deformação–deslocamento é

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

A equação constitutiva elástica linear é

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

onde \(\boldsymbol{C}\) é o tensor de elasticidade de quarta ordem.

Princípio dos trabalhos virtuais

As formas gerais do princípio dos trabalhos virtuais (representação na configuração atual, representação na configuração inicial e redução a deformações infinitesimais) estão reunidas em Princípio dos trabalhos virtuais. Sob as hipóteses de deformações infinitesimais e elasticidade linear, a forma fraca é

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{em} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Substituindo a equação constitutiva \eqref{eq:2.1.5} e escrevendo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) em notação de Voigt, obtém-se a forma utilizada diretamente na discretização:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

onde \(D\) é a matriz elástica definida em Elasticidade linear. As Equações \eqref{eq:2.1.10} e \eqref{eq:2.1.7} constituem o princípio dos trabalhos virtuais que é discretizado abaixo.

Discretização e montagem da equação global

Discretizando o princípio dos trabalhos virtuais da Eq.\( \eqref{eq:2.1.10} \) pelos elementos finitos, obtém-se

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Para cada elemento, o campo de deslocamentos é interpolado utilizando os deslocamentos dos nós que constituem o elemento, da forma seguinte.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

A deformação é então dada, utilizando a Eq.\(\eqref{eq:2.1.4}\), da forma seguinte.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Substituindo as Eqs.\(\eqref{eq:2.1.12}\) e \(\eqref{eq:2.1.13}\) na Eq.\(\eqref{eq:2.1.11}\), obtém-se

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

A Eq.\(\eqref{eq:2.1.14}\) pode ser escrita da forma seguinte.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Aqui, as componentes da matriz e do vetor definidos pelas Eqs.\(\eqref{eq:2.1.16}\) e \(\eqref{eq:2.1.17}\) podem ser calculadas para cada elemento finito e montadas por sobreposição.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Como a Eq.\(\eqref{eq:2.1.15}\) é válida para um deslocamento virtual arbitrário \(\delta \boldsymbol{U}\), obtém-se a equação seguinte.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Por outro lado, a condição de fronteira de deslocamento da Eq.\(\eqref{eq:2.1.3}\) é expressa da forma seguinte.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Resolvendo a Eq.\(\eqref{eq:2.1.18}\) sujeita à condição de restrição da Eq.\(\eqref{eq:2.1.19}\), pode determinar-se o deslocamento nodal \(\boldsymbol{U}\).

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