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Análise de Resposta em Frequência

Formulação do Problema

A análise de resposta em frequência avalia a amplitude e a fase da resposta em regime estacionário de um sistema no domínio da frequência quando a força externa varia harmonicamente com o tempo. Como a equação do movimento é tratada de forma diferente com e sem amortecimento, este capítulo começa por deduzir os modos próprios a partir da vibração livre não amortecida e utiliza-os depois como base modal para expandir a resposta harmónica amortecida.

Vibração Livre Não Amortecida e Modos Próprios

Quando se despreza o amortecimento, a equação do movimento é

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Expandindo o deslocamento em cada modo próprio, obtém-se

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Substituindo na Eq.\(\eqref{eq:2.6.1}\), obtém-se

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Este é um problema generalizado de valores próprios. Os métodos de solução numérica, incluindo a iteração inversa com deslocamento e o método de Lanczos, são tratados em Análise Modal. Esta secção resume as propriedades das frequências naturais e dos modos próprios resultantes que são utilizadas na expansão subsequente da resposta harmónica.

Realidade das Frequências Naturais

Pode demonstrar-se que a frequência natural é real da seguinte forma. Seja \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Tomando o conjugado complexo da Eq.\(\eqref{eq:2.6.3}\), obtém-se a Eq.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Multiplicando por \(\overline{U}_J^T\), obtém-se

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Da Eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Como a matriz de massa é simétrica definida positiva, para um vetor próprio não nulo temos

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Portanto,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Assim, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) é real.

Ortogonalidade e Normalização dos Modos Próprios

Considerem-se dois modos diferentes.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Segue-se que

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

e, quando os valores próprios são diferentes,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Assim, modos próprios diferentes são ortogonais relativamente à matriz de massa. Para o mesmo modo, a normalização relativamente à matriz de massa, como na Eq.\(\eqref{eq:2.6.12}\), simplifica o tratamento subsequente.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Resposta Harmónica com Amortecimento

Apresenta-se de seguida a formulação da análise de resposta em frequência com amortecimento. A equação do movimento governante é dada pela Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Admite-se que o termo de amortecimento é do tipo Rayleigh e é expresso pela Eq.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Utilizando os vetores próprios obtidos na análise modal, o vetor de deslocamentos no instante t pode ser expandido como na Eq.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Suponha-se que o termo de força externa tem a forma harmónica

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Determina-se então \(b_{j}(t)\). Como a equação do movimento da Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\) tem a forma de vibração forçada,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

é válida. As partes real e imaginária do coeficiente de expansão \(b_{j}(t)\) são dadas, respetivamente, pelas Eqs.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) e \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Deste modo obtêm-se os coeficientes de resposta harmónica pretendidos.

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