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Analyse de réponse en fréquence

Formulation du problème

L’analyse de réponse en fréquence évalue l’amplitude et la phase de la réponse en régime stationnaire d’un système dans le domaine fréquentiel lorsque la force externe varie harmonieusement avec le temps. Comme l’équation du mouvement est traitée différemment selon qu’un amortissement est présent ou non, ce chapitre détermine d’abord les modes propres à partir des vibrations libres non amorties, puis les utilise comme base modale pour développer la réponse harmonique amortie.

Vibrations libres non amorties et modes propres

Lorsque l’amortissement est négligé, l’équation du mouvement est

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Le développement du déplacement sur les différents modes propres donne

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

En substituant cette expression dans l’équation \(\eqref{eq:2.6.1}\), on obtient

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Il s’agit d’un problème généralisé aux valeurs propres. Les méthodes de résolution numérique, notamment l’itération inverse avec décalage et la méthode de Lanczos, sont décrites dans Analyse modale. Cette section résume les propriétés des fréquences propres et des modes propres obtenus, utilisées ensuite pour le développement de la réponse harmonique.

Réalité des fréquences propres

On peut montrer comme suit que la fréquence propre est réelle. Posons \(\omega_j^2 = \lambda_j\). En prenant le conjugué complexe de l’équation \(\eqref{eq:2.6.3}\), on obtient l’équation \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

En multipliant par \(\overline{U}_J^T\), on obtient

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

D’après l’équation \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Comme la matrice de masse est symétrique définie positive, pour un vecteur propre non nul on a

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Par conséquent,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Ainsi, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) est réel.

Orthogonalité et normalisation des modes propres

Considérons deux modes distincts.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Il s’ensuit que

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

et, lorsque les valeurs propres sont différentes,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Ainsi, des modes propres distincts sont orthogonaux par rapport à la matrice de masse. Pour un même mode, la normalisation par rapport à la matrice de masse selon l’équation \(\eqref{eq:2.6.12}\) simplifie la suite du traitement.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Réponse harmonique avec amortissement

La formulation de l’analyse de réponse en fréquence avec amortissement est présentée ci-après. L’équation du mouvement est donnée par l’équation \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Le terme d’amortissement est supposé de type Rayleigh et s’exprime par l’équation \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

À l’aide des vecteurs propres obtenus par l’analyse modale, le vecteur déplacement à l’instant t peut être développé selon l’équation \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Supposons que le terme de force externe soit de forme harmonique

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Déterminons alors \(b_{j}(t)\). Comme l’équation du mouvement \(\eqref{eq:2.6.13}\) a la forme d’une vibration forcée,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

est vérifiée. Les parties réelle et imaginaire du coefficient de développement \(b_{j}(t)\) sont données respectivement par les équations \(\eqref{eq:2.6.18}i\) et \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

On obtient ainsi les coefficients de réponse harmonique recherchés.

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