Aller au contenu

Cadre de l'analyse incrémentale

Nécessité de l'analyse incrémentale

Comme décrit précédemment, dans l'analyse des problèmes à petites déformations, l'analyse par éléments finis peut être effectuée en utilisant le principe des travaux virtuels, équivalent aux équations fondamentales telles que les équations d'équilibre, puis en discrétisant cette équation par éléments finis. Le même principe fondamental des travaux virtuels est également utilisé pour l'analyse des problèmes de déformations finies impliquant de grandes déformations des structures.

Cependant, dans les problèmes de déformations finies, même en supposant un comportement linéaire du matériau, l'équation issue du principe des travaux virtuels devient non linéaire par rapport au déplacement. Pour résoudre les équations non linéaires, des calculs itératifs sont généralement effectués au moyen d'une méthode itérative.

Dans ces calculs itératifs, on utilise une méthode d'analyse incrémentale dans laquelle le calcul est effectué par portions pour de petits incréments de charge, puis les incréments sont cumulés jusqu'à atteindre l'état déformé final. Lorsqu'un problème à petites déformations est supposé, aucune distinction particulière n'est faite entre les configurations avant et après déformation lors de la définition de la déformation et de la contrainte. Autrement dit, sous l'hypothèse des petites déformations, il importe peu que la configuration utilisée pour décrire les équations fondamentales soit celle d'avant ou d'après déformation.

Lorsqu'une analyse incrémentale est effectuée pour un problème de déformations finies, la formulation diffère selon que l'on prend comme configuration de référence la configuration initiale ou la configuration au début de l'incrément. La première est appelée méthode lagrangienne totale et la seconde méthode lagrangienne actualisée. Pour plus de détails, consultez les références en fin de chapitre et les documents associés.

Équation de départ : principe des travaux virtuels au temps \(t'\)

Considérons une analyse incrémentale dans laquelle l'état jusqu'au temps \(t\) est connu et l'état au temps \(t' = t + \Delta t\) est inconnu (voir Figure 2.2.1). Les équations d'équilibre, les conditions aux limites et le principe des travaux virtuels au temps \(t'\) (exprimés dans la configuration actuelle à l'aide de la contrainte de Cauchy \(^{t'}\sigma\) et de la partie linéaire de la déformation d'Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) sont donnés dans Principe des travaux virtuels.

Concept de l'analyse incrémentale

Figure 2.2.1 Concept de l'analyse incrémentale

Cependant, puisque cette équation de départ est écrite dans la configuration (inconnue) au temps \(t'\), la procédure de résolution réelle choisit comme configuration de référence soit la configuration initiale \(V\) au temps \(0\), soit la configuration actuelle \(^{t'} v\) au temps \(t\), réécrit l'équation sous forme incrémentale, puis la résout :

  • Méthode lagrangienne totale — Utilise la configuration initiale \(V\) comme référence. La seconde contrainte de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) et la déformation de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) sont utilisées.
  • Méthode lagrangienne actualisée — Utilise comme référence la configuration actuelle \(^{t}v\) au début de l'incrément. La contrainte de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) et la partie linéaire de la déformation d'Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) sont utilisées.

Pour la discrétisation spatiale des deux formulations (matrice B et vecteur des forces internes), consultez Discrétisation du travail virtuel interne ; pour la linéarisation et la construction de la raideur tangente, consultez Matrice de raideur tangente.

Sujets connexes