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Travail virtuel des forces extérieures et assemblage des équations globales

Dans Discrétisation du travail virtuel des forces internes, le membre de gauche de la forme faible a été ramené au vecteur des forces internes élémentaires \(\boldsymbol{q}^e\) (méthode UL) ou \(\boldsymbol{Q}^e\) (méthode TL). Ce chapitre introduit, à partir du travail virtuel des forces extérieures, le vecteur des forces extérieures nodales élémentaires \(\boldsymbol{F}^e\), puis applique l’opération d’assemblage, qui réordonne et cumule les grandeurs nodales élémentaires selon les numéros globaux de nœuds, pour obtenir finalement le système non linéaire d’équations en déplacements nodaux résolu par l’analyse structurale non linéaire de FrontISTR.

Décomposition élémentaire du travail virtuel des forces extérieures

Le membre de droite du Principe des travaux virtuels peut être décomposé élément par élément en travail virtuel des forces extérieures constitué des forces volumiques et des tractions surfaciques imposées sur les frontières mécaniques. Pour écrire sous forme matricielle l’interpolation des déplacements introduite dans Fonctions de forme et approximation par éléments finis, on définit le bloc \(\alpha\) \(N_\alpha^e\) en plaçant sur la diagonale la fonction de forme \(d \times d\) du nœud \(\boldsymbol{N}_\alpha\), puis on forme \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), de sorte que \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). En substituant cette expression dans le travail virtuel des forces extérieures écrit dans la configuration de référence, on obtient

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

où le vecteur des forces extérieures nodales élémentaires est organisé sous la forme \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Le travail virtuel des forces extérieures se ramène ainsi à la même forme « vecteur nodal élémentaire × fonction test » que le terme des forces internes (dans la configuration courante, on obtient la même forme en effectuant les substitutions \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) et \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Assemblage des grandeurs nodales élémentaires

Les grandeurs nodales \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) obtenues pour chaque élément sont regroupées dans des vecteurs globaux ordonnés par numéro global de nœud. Soit, dans l’élément \(\Omega^e\), le numéro global du nœud correspondant au numéro local \(\alpha\)

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Une grandeur nodale élémentaire est alors identique à la composante correspondante de la grandeur nodale globale (par exemple, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Comme un nœud \(i_g\) est en général partagé par plusieurs éléments, on définit pour \(i_g\) l’ensemble des couples \((e, \alpha)\) dont le numéro global de nœud est celui-ci par

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

En utilisant cet ensemble pour réécrire la somme sous la forme \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), on obtient la force interne nodale et le vecteur global des forces internes sur l’ensemble des \(n_g\) nœuds :

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Ici, \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) est la résultante des forces internes nodales élémentaires agissant au nœud \(i_g\) ; elle vaut \(\boldsymbol{0}\) lorsqu’aucune force extérieure n’agit et que l’équilibre est satisfait. La même procédure appliquée à la méthode UL donne \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ; comme leurs valeurs numériques satisfont \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), la notation \(\boldsymbol{Q}\) est utilisée ci-après sauf lorsqu’une distinction est nécessaire. Le vecteur global des forces extérieures \(\boldsymbol{F}\) est obtenu par la même accumulation.

Dans l’implémentation, l’ensemble \(\mathcal{E}(i_g)\) n’est pas construit explicitement ; les contributions sont ajoutées directement aux composantes correspondantes dans la boucle sur les éléments.

Initialiser le vecteur global des forces internes Q à 0 : Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (nombre d’éléments)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Le vecteur global des forces extérieures \(\boldsymbol{F}\) est construit par la même procédure. Cette opération consistant à ajouter et stocker les grandeurs nodales élémentaires dans des vecteurs et matrices numérotés selon les numéros globaux de nœuds est appelée assemblage. Pour les tenseurs du second ordre associés à deux numéros de nœuds (tels que les matrices de rigidité), on obtient le même type d’assemblage en utilisant l’ensemble \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (voir Matrice de rigidité tangente pour la construction concrète).

Équations non linéaires à résoudre

En substituant les forces internes et extérieures assemblées dans le Principe des travaux virtuels, et puisque celui-ci doit être vérifié pour toute fonction test \(\delta\boldsymbol{u}^n\) satisfaisant les conditions aux limites géométriques, on obtient

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Dans le contexte de l’analyse incrémentale (Cadre de l’analyse incrémentale), on réintroduit l’indice temporel \(_{n+1}\) et on omet l’exposant \(^n\) indiquant le vecteur nodal global. L’équation à résoudre devient alors

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Ainsi, au temps \(t_{n+1}\), le problème aux limites discrétisé consistant à déterminer le déplacement nodal \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) se ramène à la résolution de cette équation non linéaire en déplacement, conjointement aux conditions aux limites géométriques. La linéarisation de l’équation et la construction de la matrice de rigidité tangente sont décrites dans Matrice de rigidité tangente, et la méthode de résolution itérative dans la Méthode de Newton-Raphson.

Sujets connexes