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Notation tensorielle et fondements mathématiques

Ce chapitre regroupe les conventions de notation tensorielle, de notation indicielle et de notation de Voigt utilisées dans les chapitres suivants du Manuel théorique de FrontISTR. Seules les règles de notation pures, indépendantes de la définition des grandeurs physiques, sont décrites ici. Les conventions de notation dépendant de la configuration associée au mouvement du milieu continu (configuration de référence/actuelle), telles que la distinction entre majuscules et minuscules et entre dérivées matérielles et spatiales, sont données dans Mouvement, déformation et mesure de déformation, où le concept de configuration est introduit.

Notation tensorielle

Notation des vecteurs et tenseurs en caractères gras

Par convention typographique, les grandeurs scalaires et les composantes des vecteurs et tenseurs sont écrites en caractères ordinaires (par exemple \(\rho\) et \(x_i\)), tandis que les grandeurs vectorielles et tensorielles elles-mêmes sont écrites en caractères gras (par exemple \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) et \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Convention de sommation d'Einstein

Sauf indication contraire, la convention de sommation d'Einstein est utilisée : lorsqu'un même indice apparaît deux fois dans un même terme, une sommation est effectuée sur cet indice. Par exemple,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

et la composante \(i,j\) du produit \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) des tenseurs \(\boldsymbol{A}\) et \(\boldsymbol{B}\) est

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Comme convention sur les indices, lorsque \(i, j, k, l, \ldots\) sont utilisés comme indices sans autre précision, ils désignent des indices associés aux degrés de liberté (\(1, 2, 3\) en trois dimensions), tandis que les lettres grecques minuscules \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) utilisées comme indices désignent des indices associés aux nœuds constituant un élément.

Produit scalaire, transposition et produit tensoriel

La transposée du tenseur \(\boldsymbol{A}\) est notée \(\boldsymbol{A}^T\). Le produit scalaire (double contraction) des tenseurs du second ordre \(\boldsymbol{A}\) et \(\boldsymbol{B}\) s'écrit

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Le produit scalaire des vecteurs \(\boldsymbol{a}\) et \(\boldsymbol{b}\) est \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), et leur produit tensoriel est \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notation de Voigt

Les contraintes et les déformations sont des tenseurs symétriques du second ordre par rapport aux degrés de liberté, et les coefficients représentant la relation linéaire entre eux forment un tenseur du quatrième ordre. Les manipuler directement dans un programme est défavorable en termes de coût de calcul et de codage (tableaux multidimensionnels et boucles profondément imbriquées). Les programmes généraux d'éléments finis exploitent donc la symétrie et compressent les contraintes et les déformations en vecteurs colonnes et le tenseur d'élasticité du quatrième ordre en une matrice bidimensionnelle. C'est ce qu'on appelle la notation de Voigt.

Dans la suite, la représentation matricielle ou vectorielle d'une grandeur tensorielle \(\boldsymbol{A}\) est notée \(\hat{A}\) afin de la distinguer du tenseur d'origine.

Représentation vectorielle des contraintes et des déformations

Pour le tenseur symétrique des contraintes \(\boldsymbol{\sigma}\) et le tenseur des déformations \(\boldsymbol{\varepsilon}\), en deux dimensions,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

en trois dimensions,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ils sont traités comme des vecteurs colonnes, comme indiqué ci-dessus. La même règle s'applique aux grandeurs dérivées telles que les variations et les différentielles. Il faut noter que les composantes de cisaillement du côté des déformations comportent un facteur 2 (ce n'est pas le cas du côté des contraintes). Grâce à cette dissymétrie, le produit scalaire tensoriel peut être écrit de manière compacte comme le produit scalaire vectoriel

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Dans l'implémentation, le facteur 2 des composantes de déformation de cisaillement peut facilement être mal traité ; il faut donc toujours garder à l'esprit la convention « absent pour la contrainte / présent pour la déformation ». Exactement la même convention de Voigt est appliquée aux grandeurs dans la configuration de référence (la seconde contrainte de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) et la déformation de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Représentation matricielle d'un tenseur du quatrième ordre

Pour la relation linéaire entre contrainte et déformation, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (sous forme composante, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), l'utilisation de la symétrie de \(\boldsymbol{\varepsilon}\) donne

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

En trois dimensions, l'organisation de \(\tilde{C}\) sous forme de matrice de matériau 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) permet d'exprimer la relation tensorielle d'origine sous la forme

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Dans la suite de ce manuel, sauf indication contraire, la matrice de matériau est notée \(D\) (ou \(\hat{C}\)). Pour les composantes spécifiques de l'élasticité linéaire isotrope, consultez Élasticité linéaire.

Conventions relatives aux opérateurs différentiels

Opérateur gradient symétrique

L'opérateur gradient symétrique \(\nabla_S\) d'un champ vectoriel \(\boldsymbol{u}\) est défini par

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Sous forme composante, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). La déformation infinitésimale \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) peut être exprimée de manière compacte avec cet opérateur. La distinction entre les configurations (de référence/actuelle) par rapport auxquelles les gradients sont pris en déformations finies est traitée dans Mouvement, déformation et mesure de déformation.

Dérivée temporelle matérielle

La dérivée temporelle matérielle d'une grandeur \(A\) (la dérivée temporelle suivant le même point matériel) est notée par un point en exposant, \(\dot{A}\) :

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

La vitesse et l'accélération suivent cette convention.

Sujets connexes