张量记法与数学基础¶

本章汇总 FrontISTR 理论手册后续章节所使用的张量记法、指标记法和 Voigt 记法约定。这里只说明不依赖物理量定义的纯记法规则。与连续体运动所涉及的构形（参考构形/当前构形）相关的符号约定（大写与小写的区分、物质微分与空间微分的区分），放在引入构形概念的运动、变形与应变中说明。

张量记法¶

用粗体表示向量与张量¶

作为字体原则，标量以及向量、张量的分量用普通字体表示（如 \(\rho\)、\(x_i\)），而向量、张量量本身用粗体表示（如 \(\boldsymbol{a}\)、\(\boldsymbol{E}\)、\(\boldsymbol{\sigma}\)）。

Einstein 求和约定¶

除非特别说明，当同一指标在同一项中出现两次时，对该指标采用 Einstein 求和约定。例如

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

并且张量 \(\boldsymbol{A}\)、\(\boldsymbol{B}\) 的乘积 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) 的 \(i,j\) 分量为

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

关于指标约定，若无特别说明，\(i, j, k, l, \ldots\) 用作指标时表示与自由度有关的指标（三维时为 \(1, 2, 3\)）；希腊小写字母 \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) 用作指标时表示与构成单元的节点有关的指标。

内积、转置与张量积¶

张量 \(\boldsymbol{A}\) 的转置记为 \(\boldsymbol{A}^T\)。二阶张量 \(\boldsymbol{A}\)、\(\boldsymbol{B}\) 的内积（二重缩并）记为

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

向量 \(\boldsymbol{a}\)、\(\boldsymbol{b}\) 的内积为 \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\)，张量积为 \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)。

Voigt 记法¶

应力和应变是关于自由度的二阶对称张量，而表示二者之间线性关系的系数是四阶张量。若在程序中直接处理，会在计算量和编码（多维数组、深层嵌套循环）方面不利。因此，一般有限元程序利用对称性，将应力和应变压缩为列向量，将四阶弹性张量压缩为二维矩阵进行处理。这称为 Voigt 记法。

以下将张量量 \(\boldsymbol{A}\) 的矩阵/向量表示记为 \(\hat{A}\)，以区别于原始张量。

应力与应变的向量表示¶

对于对称的应力张量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 和应变张量 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)，二维情况下为

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

三维情况下为

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

如上所示按列向量处理。对变分、微分等派生量也适用相同规则。注意：应变一侧的剪切分量带有系数 2（应力一侧不带）。由于这种不对称性，张量内积可作为向量内积写成

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

这种形式。在实现中容易混淆剪切应变分量的 2 倍因子，因此必须始终牢记“应力无/应变有”的约定。对于参考构形中的量（第二 Piola-Kirchhoff 应力 \(\boldsymbol{S}\) 与 Green-Lagrange 应变 \(\boldsymbol{E}\)），也完全采用相同的 Voigt 约定。

四阶张量的矩阵表示¶

对于应力与应变的线性关系 \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\)（分量形式为 \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)），利用 \(\boldsymbol{\varepsilon}\) 的对称性可得

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

可改写为上述形式。在三维情况下，将 \(\tilde{C}\) 排列成 6×6 的材料矩阵 \(\hat{\tilde{C}}\) 后，原来的张量关系可表示为

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

以下在本手册中，除非特别说明，材料矩阵记为 \(D\)（或 \(\hat{C}\)）。各向同性线性弹性情况下的具体分量参见线性弹性。

微分算子的约定¶

对称梯度算子¶

定义向量场 \(\boldsymbol{u}\) 的对称梯度算子 \(\nabla_S\) 为

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

其分量形式为 \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)。小变形应变 \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) 可用该算子简洁表示。有限变形中对哪一种构形（参考/当前）求梯度的区分，在运动、变形与应变中说明。

物质时间导数¶

某个量 \(A\) 的物质时间导数（跟随同一物质点的时间导数）用上标圆点记为 \(\dot{A}\)：

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

速度和加速度遵循这一约定。