ترميز الموترات والأسس الرياضية¶

يجمع هذا الفصل اصطلاحات ترميز الموترات وترميز المؤشرات وترميز Voigt المستخدمة في الفصول اللاحقة من الدليل النظري لـ FrontISTR. ولا يصف هنا سوى قواعد الترميز البحتة التي لا تعتمد على تعريفات الكميات الفيزيائية. أما اصطلاحات الترميز التي تعتمد على التهيئة المرتبطة بحركة الوسط المتصل (التهيئة المرجعية/الحالية)، مثل التمييز بين الأحرف الكبيرة والصغيرة وبين المشتقات المادية والمكانية، فترد في الحركة والتشوه والانفعال، حيث يُقدَّم مفهوم التهيئة.

ترميز الموترات¶

ترميز المتجهات والموترات بالخط العريض¶

كاصطلاح طباعي، تُكتب الكميات القياسية ومكونات المتجهات والموترات بخط عادي (مثل \(\rho\) و\(x_i\))، بينما تُكتب الكميات المتجهية والموترية نفسها بخط عريض (مثل \(\boldsymbol{a}\) و\(\boldsymbol{E}\) و\(\boldsymbol{\sigma}\)).

اصطلاح جمع أينشتاين¶

ما لم يُذكر خلاف ذلك، يُستخدم اصطلاح جمع أينشتاين: عندما يظهر المؤشر نفسه مرتين في الحد نفسه، يُجرى الجمع على ذلك المؤشر. على سبيل المثال،

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

وتكون المركبة \(i,j\) من حاصل ضرب الموترين \(\boldsymbol{A}\) و\(\boldsymbol{B}\)، أي \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\)، كما يلي:

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

كاصطلاح للمؤشرات، عندما تُستخدم \(i, j, k, l, \ldots\) كمؤشرات من دون قيد إضافي فإنها تدل على المؤشرات المرتبطة بدرجات الحرية (\(1, 2, 3\) في ثلاثة أبعاد)، بينما تدل الأحرف اليونانية الصغيرة \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) المستخدمة كمؤشرات على المؤشرات المرتبطة بالعقد التي تكوّن العنصر.

الضرب الداخلي والمنقول والضرب الموتري¶

يُرمز إلى منقول الموتر \(\boldsymbol{A}\) بـ \(\boldsymbol{A}^T\). ويُكتب الضرب الداخلي (الانكماش المزدوج) للموترين من الرتبة الثانية \(\boldsymbol{A}\) و\(\boldsymbol{B}\) كما يلي:

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

الضرب الداخلي للمتجهين \(\boldsymbol{a}\) و\(\boldsymbol{b}\) هو \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\)، وضربهما الموترى هو \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

ترميز Voigt¶

الإجهاد والانفعال موتران متناظران من الرتبة الثانية بالنسبة إلى درجات الحرية، وتشكل المعاملات التي تمثل العلاقة الخطية بينهما موترًا من الرتبة الرابعة. والتعامل المباشر مع هذه الكميات في البرنامج غير ملائم من حيث الكلفة الحسابية والبرمجة (مصفوفات متعددة الأبعاد وحلقات متداخلة بعمق). لذلك تستفيد برامج العناصر المحدودة العامة من التناظر وتضغط الإجهاد والانفعال إلى متجهات عمودية وموتر المرونة من الرتبة الرابعة إلى مصفوفة ثنائية الأبعاد. ويُسمى ذلك ترميز Voigt.

فيما يلي، يُرمز إلى التمثيل المصفوفي أو المتجهي للكمية الموترية \(\boldsymbol{A}\) بـ \(\hat{A}\) لتمييزه عن الموتر الأصلي.

التمثيل المتجهي للإجهاد والانفعال¶

بالنسبة إلى موتر الإجهاد المتناظر \(\boldsymbol{\sigma}\) وموتر الانفعال \(\boldsymbol{\varepsilon}\)، ففي بعدين:

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

وفي ثلاثة أبعاد:

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

تُعامل هذه الكميات كمتجهات عمودية كما هو موضح أعلاه. وتنطبق القاعدة نفسها على الكميات المشتقة مثل التغايرات والتفاضلات. لاحظ أن مركبات القص في جانب الانفعال لها عامل مقداره 2 (ولا يوجد هذا العامل في جانب الإجهاد). وبسبب هذا اللاتناظر يمكن كتابة الضرب الداخلي الموترى بصورة مدمجة كضرب داخلي متجهي:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

في التنفيذ، من السهل التعامل بصورة خاطئة مع عامل 2 في مركبات انفعال القص، لذلك يجب دائمًا تذكر اصطلاح «غير موجود للإجهاد / موجود للانفعال». ويُطبق اصطلاح Voigt نفسه تمامًا على الكميات في التهيئة المرجعية (إجهاد بيولا-كيرشهوف الثاني \(\boldsymbol{S}\) وانفعال غرين-لاغرانج \(\boldsymbol{E}\)).

التمثيل المصفوفي لموتر من الرتبة الرابعة¶

بالنسبة إلى العلاقة الخطية بين الإجهاد والانفعال، \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (وفي صيغة المكونات، \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\))، فإن استخدام تناظر \(\boldsymbol{\varepsilon}\) يعطي:

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

في ثلاثة أبعاد، يتيح ترتيب \(\tilde{C}\) كمصفوفة مادة 6×6، \(\hat{\tilde{C}}\)، التعبير عن العلاقة الموترية الأصلية كما يلي:

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

في بقية هذا الدليل، ما لم يُذكر خلاف ذلك، يُرمز إلى مصفوفة المادة بـ \(D\) (أو \(\hat{C}\)). وللمكونات المحددة للمرونة الخطية متساوية الخواص، راجع المرونة الخطية.

اصطلاحات المؤثرات التفاضلية¶

مؤثر التدرج المتناظر¶

يُعرَّف مؤثر التدرج المتناظر \(\nabla_S\) لحقل متجهي \(\boldsymbol{u}\) كما يلي:

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

في صيغة المكونات، \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). ويمكن التعبير باختصار عن انفعال التشوه المتناهي الصغر \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) باستخدام هذا المؤثر. ويُشرح التمييز بين التهيئتين (المرجعية/الحالية) اللتين تُحسب بالنسبة إليهما التدرجات في التشوه المحدود في الحركة والتشوه والانفعال.

المشتقة الزمنية المادية¶

يُرمز إلى المشتقة الزمنية المادية للكمية \(A\) (المشتقة الزمنية المتتبعة للنقطة المادية نفسها) بنقطة علوية، \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

تتبع السرعة والتسارع هذا الاصطلاح.

ترميز الموترات والأسس الرياضية¶