التحليل الساكن المرن الخطي (مقدمة)

يعرض هذا القسم صياغة التحليل الساكن المرن استنادًا إلى نظرية التشوه المتناهي الصغر. ويُفترض السلوك المرن الخطي لعلاقة الإجهاد والانفعال. يهدف هذا الفصل إلى تقديم مدخل لفهم البنية العامة للتحليل الإنشائي بطريقة العناصر المحددة، وقد نُظّم بحيث يمكن قراءته بوصفه فصلًا مستقلاً مكتملًا.

للنظرية العامة لمبدأ الشغل الافتراضي (صيغة الوضع الحالي، وصيغة الوضع الابتدائي، والاختزال إلى التشوه المتناهي الصغر)، راجع مبدأ الشغل الافتراضي؛ ولتفاصيل قانون السلوك المرن الخطي، راجع المرونة الخطية؛ ولاتفاقيات ترميز الموترات وتمثيل Voigt، راجع ترميز الموترات والأسس الرياضية؛ وللصياغة العامة للتشوهات المحدودة، راجع الحركة والتشوه والانفعال؛ ولطرائق حل المسائل غير الخطية، راجع مصفوفة الصلابة المماسية.

المعادلات الأساسية

في ظل افتراضَي التشوه المتناهي الصغر والمرونة الخطية، تتكون مسألة القيم الحدية في ميكانيكا الأجسام الصلبة من معادلة الاتزان، والشروط الحدية الميكانيكية، والشروط الحدية الهندسية (الشروط الحدية الأساسية) (انظر الشكل 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{في} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{على} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{على} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

هنا، تمثل \(\boldsymbol{\sigma}\) إجهاد Cauchy، وتمثل \(\overline{\boldsymbol{b}}\) قوة الجسم لكل وحدة حجم، وتمثل \(\overline{\boldsymbol{t}}\) قوة السطح المقررة، وتمثل \(\overline{\boldsymbol{u}}\) الإزاحة المقررة، وتمثل \(S_t, S_u\) الحدين الميكانيكي والهندسي.

الشكل 2.1.1 مسألة القيم الحدية في ميكانيكا الأجسام الصلبة (مسألة التشوه المتناهي الصغر)

باستخدام مؤثر التدرج المتناظر، تكون علاقة الانفعال-الإزاحة

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

معادلة السلوك المرن الخطي هي

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

حيث إن \(\boldsymbol{C}\) هو موتر المرونة من الرتبة الرابعة.

مبدأ الشغل الافتراضي

تُلخّص الصيغ العامة لمبدأ الشغل الافتراضي (صيغة الوضع الحالي، وصيغة الوضع الابتدائي، والاختزال إلى التشوه المتناهي الصغر) في مبدأ الشغل الافتراضي. وفي ظل افتراضَي التشوه المتناهي الصغر والمرونة الخطية، تكون الصيغة الضعيفة

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{على} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

وبالتعويض عن معادلة السلوك \eqref{eq:2.1.5} وكتابة \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) وفق ترميز Voigt، نحصل على الصيغة المستخدمة مباشرة في عملية التقسيم إلى عناصر:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

حيث إن \(D\) هي مصفوفة المرونة المعرّفة في المرونة الخطية. وتشكل المعادلتان \eqref{eq:2.1.10} و\eqref{eq:2.1.7} مبدأ الشغل الافتراضي الذي سيُقسّم إلى عناصر أدناه.

التقسيم إلى عناصر وتجميع المعادلة العامة

يعطي تقسيم مبدأ الشغل الافتراضي في المعادلة \( \eqref{eq:2.1.10} \) على العناصر المحددة

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

لكل عنصر، يُستوفى حقل الإزاحة باستخدام إزاحات العقد المكوّنة للعنصر كما يلي.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

وعندئذ يُعطى الانفعال باستخدام المعادلة \(\eqref{eq:2.1.4}\) كما يلي.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

بالتعويض عن المعادلتين \(\eqref{eq:2.1.12}\) و\(\eqref{eq:2.1.13}\) في المعادلة \(\eqref{eq:2.1.11}\)، نحصل على

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

يمكن كتابة المعادلة \(\eqref{eq:2.1.14}\) بالشكل

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

حيث يمكن حساب مركبات المصفوفة والمتجه المعرّفين بالمعادلتين \(\eqref{eq:2.1.16}\) و\(\eqref{eq:2.1.17}\) لكل عنصر محدود، ثم تجميعها بالتراكب.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

ولأن المعادلة \(\eqref{eq:2.1.15}\) تتحقق لأي إزاحة افتراضية \(\delta \boldsymbol{U}\)، نحصل على المعادلة التالية.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

وفي المقابل، يُعبَّر عن شرط الإزاحة الحدي في المعادلة \(\eqref{eq:2.1.3}\) كما يلي.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

بحل المعادلة \(\eqref{eq:2.1.18}\) مع شرط القيد في المعادلة \(\eqref{eq:2.1.19}\)، يمكن تحديد إزاحة العقد \(\boldsymbol{U}\).

انظر أيضًا