انتقل إلى المحتوى

المرونة الفائقة

يتناول هذا الفصل قوانين السلوك فائق المرونة التي يدعمها FrontISTR. ولتفاصيل اختيار النموذج ومواصفات الإدخال، راجع القسم 03_material ضمن قسم الوظائف.

الظاهرة (استجابة قابلة للعكس عند التشوهات الكبيرة)

TBD (سيُطوَّر إلى نص كامل في المرحلة التالية).

إطار قانون السلوك

بالنسبة إلى مادة فائقة المرونة متساوية الخواص، تُستخرج طاقة الوضع المرنة من استجابة متساوية الخواص انطلاقًا من الحالة الابتدائية الخالية من الإجهاد، و يمكن التعبير عنها بدلالة الثوابت الرئيسية \((I_1, I_2, I_3)\) لموتر التشوه Cauchy-Green الأيمن \(C\)، أو بدلالة الثوابت الرئيسية \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) لموتر التشوه بعد إزالة التغير الحجمي، أي على الصورة \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) أو \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

تُعرَّف معادلة السلوك لمادة فائقة المرونة بالعلاقة بين إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني وانفعال Green-Lagrange، وتُطبق طريقة Total Lagrange في تحليل تشوهها.

بمجرد معرفة طاقة الوضع المرنة \(W\)، يمكن حساب إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني وعلاقة الإجهاد-الانفعال كما يلي.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

تُسرد أدناه طاقات الوضع المرنة \(W\) لنماذج المرونة الفائقة المعتمدة في FrontISTR.

نموذج Neo-Hookean فائق المرونة

يوسّع نموذج Neo-Hookean فائق المرونة قانونًا خطيًا متساوي الخواص (قانون Hooke) بحيث يمكن تطبيقه على مسائل التشوهات الكبيرة. وطاقة الوضع المرنة له كما يلي.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

هنا، \(C_{10}\) و\(D\) ثابتان ماديان.

نموذج Mooney-Rivlin فائق المرونة

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

هنا، \(C_{10}\) و\(C_{01}\) و\(D\) ثوابت مادية.

نموذج Mooney-Rivlin فائق المرونة متباين الخواص

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

هنا، \(C_{10}\) و\(C_{01}\) و\(D\) ثوابت مادية مشتركة مع النموذج متساوي الخواص، بينما \(C_{42}\) و\(C_{43}\) ثابتان ماديان خاصان بتباين الخواص.

نموذج Arruda-Boyce فائق المرونة

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

هنا، \(\mu_0\) و\(\lambda_m\) و\(D\) ثوابت مادية.

موضوعات ذات صلة