Przejdź do treści

Hipersprężystość

W tym rozdziale opisano prawa konstytutywne materiałów hipersprężystych obsługiwane przez FrontISTR. Szczegóły dotyczące wyboru modelu i specyfikacji danych wejściowych zawiera sekcja funkcji 03_material.

Zjawisko (odwracalna odpowiedź przy dużych odkształceniach)

TBD (tekst zostanie rozwinięty w następnej fazie).

Ramy prawa konstytutywnego

Dla izotropowego materiału hipersprężystego energia potencjalna sprężystości wynika z izotropowej odpowiedzi względem początkowego stanu bez naprężeń i może być wyrażona jako funkcja głównych niezmienników \((I_1, I_2, I_3)\) prawego tensora odkształcenia Cauchy'ego-Greena \(C\) albo głównych niezmienników \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) tensora odkształcenia z usuniętą zmianą objętości, czyli jako \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) lub \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Równanie konstytutywne materiału hipersprężystego definiuje zależność między drugim naprężeniem Pioli-Kirchhoffa a odkształceniem Greena-Lagrange'a, a do analizy jego deformacji stosowana jest metoda Total Lagrangian.

Po wyznaczeniu energii potencjalnej sprężystości \(W\) drugie naprężenie Pioli-Kirchhoffa oraz zależność naprężenie-odkształcenie można obliczyć następująco.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Poniżej podano energie potencjalne sprężystości \(W\) modeli hipersprężystych przyjętych w FrontISTR.

Hipersprężysty model Neo-Hooke'a

Hipersprężysty model Neo-Hooke'a rozszerza izotropowe prawo liniowe (prawo Hooke'a), aby można je było stosować do problemów dużych odkształceń. Jego potencjał sprężysty ma postać:

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Tutaj \(C_{10}\) i \(D\) są stałymi materiałowymi.

Hipersprężysty model Mooneya-Rivlina

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Tutaj \(C_{10}\), \(C_{01}\) i \(D\) są stałymi materiałowymi.

Anizotropowy hipersprężysty model Mooneya-Rivlina

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Tutaj \(C_{10}\), \(C_{01}\) i \(D\) są stałymi materiałowymi wspólnymi z modelem izotropowym, natomiast \(C_{42}\) i \(C_{43}\) są stałymi materiałowymi właściwymi dla anizotropii.

Hipersprężysty model Arrudy-Boyce'a

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Tutaj \(\mu_0\), \(\lambda_m\) i \(D\) są stałymi materiałowymi.

Tematy powiązane