Przejdź do treści

Lista symboli wielkości fizycznych

Na tej stronie zestawiono symbole wielkości fizycznych używanych w podręczniku teorii FrontISTR. Konwencje zapisu (pogrubienie wektorów i tensorów, konwencja sumacyjna Einsteina oraz notacja Voigta) opisano w Notacji tensorowej i podstawach matematycznych.

Konfiguracje i układy współrzędnych

Symbol Opis
\(\boldsymbol{X}\) Wektor położenia punktu materialnego w konfiguracji odniesienia (początkowej) (współrzędne materialne)
\(\boldsymbol{x}\) Wektor położenia punktu materialnego w konfiguracji bieżącej (współrzędne przestrzenne)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Odwzorowanie ruchu: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Obszar zajmowany przez ciało w konfiguracji odniesienia
\(\Omega\) Obszar zajmowany przez ciało w konfiguracji bieżącej
\(\Gamma_0\) Brzeg \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Brzeg \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Brzeg geometryczny (przemieszczeniowy): brzeg w konfiguracji bieżącej/odniesienia, na którym zadano \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Brzeg mechaniczny: brzeg w konfiguracji bieżącej/odniesienia, na którym zadano \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (lub \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Zewnętrzny jednostkowy wektor normalny do powierzchni w konfiguracji bieżącej
\(\boldsymbol{N}\) Zewnętrzny jednostkowy wektor normalny do powierzchni w konfiguracji odniesienia
\(t\) Czas

Konwencja: Wielkości fizyczne w konfiguracji odniesienia oznacza się wielkimi literami lub indeksem dolnym \(0\), natomiast wielkości w konfiguracji bieżącej oznacza się małymi literami.

Czas i przyrosty (analiza przyrostowa)

Symbol Opis
\(\Delta t\) Przyrost czasu: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Wielkość fizyczna w chwili \(t\) (lewy indeks górny). Przykład: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) jest naprężeniem Cauchy'ego w chwili \(t\)
\(^{t}\Omega\) Obszar konfiguracji bieżącej w chwili \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Brzeg konfiguracji bieżącej w chwili \(t\)

Konwencja: W analizie przyrostowej stan do chwili \(t\) traktuje się jako znany, a stan w chwili \(t + \Delta t\) rozwiązuje się jako niewiadomy. Lewy indeks górny pomija się, gdy nie trzeba jawnie wskazywać czasu. Sformułowanie używające konfiguracji odniesienia \(\Omega_0\) jako konfiguracji referencyjnej nazywa się sformułowaniem Total Lagrange, natomiast sformułowanie używające konfiguracji bieżącej \(^{t}\Omega\) na początku przyrostu jako konfiguracji referencyjnej nazywa się sformułowaniem Updated Lagrange.

Przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie i siła masowa

Symbol Opis
\(\boldsymbol{u}\) Wektor przemieszczenia: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Przemieszczenie zadane na brzegu geometrycznym \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Przemieszczenie wirtualne (funkcja testowa): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Wektor prędkości: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Wektor przyspieszenia: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Siła masowa (na jednostkę masy)
\(\boldsymbol{t}\) Wektor obciążenia powierzchniowego (na jednostkę powierzchni): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Obciążenie powierzchniowe zadane na brzegu mechanicznym \(\Gamma_t\) (dane Neumanna)

Operatory różniczkowe

Symbol Opis
\(\dot{(\cdot)}\) Materialna pochodna czasowa (pochodna czasowa śledząca ten sam punkt materialny): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient w konfiguracji odniesienia (gradient względem współrzędnych materialnych \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient w konfiguracji bieżącej (gradient względem współrzędnych przestrzennych \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operator gradientu symetrycznego: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Uwaga: \(\nabla_X\) i \(\nabla_x\) są powiązane zależnością \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient bez indeksu, \(\nabla\), jest używany, gdy konfiguracja wynika jasno z kontekstu lub gdy rozróżnienie zanika, jak w zagadnieniach małych deformacji.

Tensory deformacji

Symbol Opis
\(\boldsymbol{F}\) Tensor gradientu deformacji: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Stosunek objętości: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Prawy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Lewy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensor gradientu prędkości: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensor prędkości deformacji (symetryczna część \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensor obrotu (antysymetryczna część \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensory odkształcenia

Symbol Opis
\(\boldsymbol{E}\) Tensor odkształcenia Greena-Lagrange'a (konfiguracja odniesienia): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensor odkształcenia Almansiego (konfiguracja bieżąca): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Liniowa część tensora odkształcenia Almansiego (symetryczny gradient przemieszczenia w konfiguracji bieżącej): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensor odkształcenia małego (aproksymacja liniowa): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Uwaga: \(\boldsymbol{E}\) jest używane głównie w sformułowaniu Total Lagrange, natomiast \(\boldsymbol{D}\) głównie w sformułowaniu Updated Lagrange.

Tensory naprężenia

Symbol Opis
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensor naprężenia Cauchy'ego (naprężenie rzeczywiste, konfiguracja bieżąca): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Pierwszy tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa (naprężenie nominalne): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Drugi tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa (konfiguracja odniesienia, symetryczny): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Zależności przeliczeniowe między tensorami naprężenia:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konwencja: Sformułowanie Total Lagrange wykorzystuje parę \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), natomiast sformułowanie Updated Lagrange parę \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Gęstość i masa

Symbol Opis
\(\rho\) Gęstość masowa w konfiguracji bieżącej
\(\rho_0\) Gęstość masowa w konfiguracji odniesienia

Zachowanie masy: \(\rho_0 = J\rho\).

Stałe materiałowe (sprężystość liniowa)

Symbol Opis
\(E\) Moduł Younga
\(\nu\) Współczynnik Poissona
\(\lambda\) Pierwsza stała Lamégo: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Druga stała Lamégo (moduł ścinania): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensor sprężystości (czwartego rzędu): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), składowe \(C_{ijkl}\)
\(D\) (lub \(\hat{\tilde{C}}\)) Macierz materiałowa (notacja Voigta, \(6\times6\) w 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Składowe tensora sprężystości dla izotropowego materiału liniowo sprężystego:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Materiały hipersprężyste

Symbol Opis
\(W(\boldsymbol{C})\) Funkcja potencjału sprężystego (gęstość energii odkształcenia)
\(I_1, I_2, I_3\) Główne niezmienniki prawego tensora Cauchy'ego-Greena \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Zredukowane niezmienniki \(\boldsymbol{C}\) (z wydzieloną zmianą objętości)
\(C_1, C_2\) Stałe materiałowe modelu Mooneya-Rivlina
\(D\) Stała materiałowa związana ze sprężystością objętościową

Materiały sprężysto-plastyczne

Symbol Opis
\(\boldsymbol{D}^e\) Sprężysta składowa tensora prędkości deformacji
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastyczna składowa tensora prędkości deformacji
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funkcja plastyczności
\(\kappa\) Zmienna wewnętrzna reprezentująca stan plastyczny (zmienna umocnienia izotropowego)
\(\lambda^p\) Mnożnik plastyczny (mnożnik prędkości odkształcenia plastycznego): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potencjał plastyczny (\(\Theta = F\) dla stowarzyszonego prawa płynięcia)
\(\bar{\sigma}\) Naprężenie zastępcze (np. naprężenie von Misesa)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Zastępcze odkształcenie plastyczne
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funkcja umocnienia izotropowego

Warunek komplementarności: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metoda elementów skończonych

Symbol Opis
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Obszary w konfiguracji bieżącej i odniesienia przybliżone przez dyskretyzację metodą elementów skończonych: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Obszar elementu w konfiguracji bieżącej i odniesienia
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Część brzegu elementu należąca do brzegu mechanicznego
\(\boldsymbol{r}\) Współrzędne naturalne (współrzędne lokalne elementu)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punkt we współrzędnych naturalnych odpowiadający węzłowi \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Funkcja kształtu odpowiadająca węzłowi \(\alpha\) elementu \(e\)
\(n_e\) Liczba węzłów tworzących element
\(n_g\) Całkowita liczba węzłów globalnych
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Współrzędne i przemieszczenie węzła elementu \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Wektory współrzędnych węzłowych i przemieszczeń elementu: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), itd.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globalne wektory współrzędnych węzłowych i przemieszczeń (uporządkowane najpierw według numeru węzła, a następnie stopnia swobody)
\(\boldsymbol{B}\) Macierz zależności odkształcenie–przemieszczenie (macierz B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Macierz funkcji kształtu: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) jest blokiem \(d \times d\) z funkcją kształtu \(N_\alpha^e\) dla węzła \(\alpha\) na przekątnej, a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Macierz sztywności elementu
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Funkcje podcałkowe macierzy sztywności elementu (wyrażone w konfiguracji odniesienia i bieżącej): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (sformułowanie TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (sformułowanie UL) Wektor sił wewnętrznych elementu
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Zewnętrzna siła węzłowa działająca na węzeł elementu \(\alpha\) oraz wektor zewnętrznych sił węzłowych elementu: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globalny wektor sił wewnętrznych i globalny wektor sił zewnętrznych: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogicznie dla \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Węzłowa siła wewnętrzna i węzłowa siła zewnętrzna w globalnym węźle \(i_g\) (bloki węzłowe \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Globalna styczna macierz sztywności: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Macierz utworzona przez umieszczenie bloku \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) w wierszu \(i_g\), kolumnie \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Wektor residuum w iteracji Newtona-Raphsona: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korekta w iteracji Newtona-Raphsona (uzyskiwana przez rozwiązanie równania liniowego \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) w iteracji \(i\))
\(i_g\) Globalny numer węzła (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Globalny numer węzła odpowiadający lokalnemu numerowi węzła \(\alpha\) elementu \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Zbiór par \((e, \alpha)\) odpowiadających globalnemu numerowi węzła \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Używany w operacjach składania
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Zbiór trójek \((e, \alpha, \beta)\) odpowiadających parze globalnych numerów węzłów \((i_g, i_h)\); używany przy składaniu macierzy sztywności
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indeksy węzłów tworzących element
\(i, j, k, l, \ldots\) Indeksy stopni swobody (\(1, 2, 3\) w 3D)

Elementy zaawansowane i elementy konstrukcyjne

Symbol Opis
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Macierz zależności odkształcenie–przemieszczenie, której część objętościowa została zmodyfikowana metodą B-bar (składowa objętościowa jest zastępowana macierzą B obliczoną w środku elementu)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradient deformacji, którego część objętościowa została zmodyfikowana metodą F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Stosunek objętości gradientu deformacji obliczonego w środku elementu \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Wektor wewnętrznych stopni swobody elementu z trybem niezgodnym (współczynniki dodatkowych modów przemieszczeń, które nie wymuszają ciągłości na brzegu elementu)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funkcje kształtu dla modów niezgodnych: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Grubość elementu powłokowego
\(A\) Pole przekroju poprzecznego elementu belkowego
\(I\) Drugi moment pola przekroju poprzecznego elementu belkowego
\(G\) Moduł ścinania: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Tematy powiązane