Przejdź do treści

Dyskretyzacja wewnętrznej pracy wirtualnej

Równanie pracy wirtualnej w chwili \(t + \Delta t\) przedstawione w Ramach analizy przyrostowej przyjmuje dwie postacie — sformułowanie zaktualizowane Lagrange’a i całkowite Lagrange’a — zależnie od wyboru konfiguracji odniesienia. W tym rozdziale aproksymację elementów skończonych wprowadzoną w Funkcjach kształtu i aproksymacji metodą elementów skończonych oraz Pochodnych przestrzennych funkcji kształtu wykorzystuje się do przestrzennej dyskretyzacji wewnętrznej pracy wirtualnej obu sformułowań i wyznaczenia wektorów sił wewnętrznych elementu \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) i \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Dla elementu \(e\) niech jego węzły składowe będą oznaczone przez \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); niech przemieszczenia będą równe \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), a wektor przemieszczeń węzłowych elementu zostanie uporządkowany jako \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Przemieszczenie wirtualne \(\delta \boldsymbol{u}^e\) definiuje się w tej samej kolejności. Przemieszczenie wewnątrz elementu jest interpolowane za pomocą funkcji kształtu jako \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Wewnętrzna praca wirtualna w sformułowaniu zaktualizowanym Lagrange’a

W sformułowaniu zaktualizowanym Lagrange’a w chwili \(t\) bieżąca konfiguracja \({}^{t}\Omega\) jest używana jako konfiguracja odniesienia, a wewnętrzna praca wirtualna jest zapisywana przy użyciu naprężenia Cauchy’ego \(\boldsymbol{\sigma}\) oraz liniowej części odkształcenia Almansiego \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) jako

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Każdą składową \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) można wyrazić, używając współrzędnych bieżącej konfiguracji \(\boldsymbol{x}\), jako kombinację liniową pochodnych funkcji kształtu \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) i węzłowych przemieszczeń wirtualnych \(\delta u^e_{i\alpha}\). W notacji Voigta można je zebrać w postaci

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Blok węzłowy \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) tworzy się przez uporządkowanie \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) zgodnie z konwencją Voigta w macierz \(6 \times 3\), a \(\boldsymbol{B}_L\) jest macierzą odkształcenie–przemieszczenie dla sformułowania UL. Podstawienie tego wyrażenia do wewnętrznej pracy wirtualnej i wyłączenie \(\delta \boldsymbol{u}^e\) daje

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Dla \(\boldsymbol{q}^e\) blok węzłowy \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) jest siłą wewnętrzną elementu \(\Omega^e\) działającą na węzeł składowy \(\alpha\).

Wewnętrzna praca wirtualna w sformułowaniu całkowitym Lagrange’a

W sformułowaniu całkowitym Lagrange’a konfiguracja początkowa \(\Omega_0\) jest używana jako konfiguracja odniesienia, a wewnętrzna praca wirtualna jest zapisywana przy użyciu drugiego naprężenia Pioli-Kirchhoffa \(\boldsymbol{S}\) i odkształcenia Greena-Lagrange’a \(\boldsymbol{E}\) jako

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Wariacja \(\delta \boldsymbol{E}\) jest rozdzielana na składnik liniowy względem przemieszczenia wirtualnego oraz składnik nieliniowy zawierający iloczyny z bieżącym gradientem przemieszczenia \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Składnik liniowy można zapisać, stosując tę samą regułę uporządkowania co w sformułowaniu UL do \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), co daje blok węzłowy \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Ze względu na inną konfigurację odniesienia zmieniają się jedynie pochodne składowe z \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); używany jest ten sam symbol co w sformułowaniu UL. Składnik nieliniowy wykorzystuje iloczyny bieżącego gradientu przemieszczenia \(\partial u_k/\partial X_j\) i \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), uporządkowane zgodnie z konwencją Voigta w celu utworzenia bloku węzłowego \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Zatem \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), a \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) jest macierzą odkształcenie–przemieszczenie dla sformułowania TL. Podstawienie tego do wewnętrznej pracy wirtualnej daje

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Blok węzłowy \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) jest siłą wewnętrzną elementu \(\Omega^e_0\) działającą na węzeł składowy \(\alpha\).

Zależność między UL/TL a przebiegiem obliczeń

Wektory sił wewnętrznych elementu w sformułowaniach zaktualizowanym Lagrange’a i całkowitym Lagrange’a odpowiadają sobie następująco.

Pozycja Sformułowanie zaktualizowane Lagrange’a Sformułowanie całkowite Lagrange’a
Konfiguracja odniesienia Bieżąca konfiguracja \({}^{t}\Omega^e\) Konfiguracja początkowa \(\Omega^e_0\)
Tensor naprężenia Naprężenie Cauchy’ego \(\boldsymbol{\sigma}\) Drugie naprężenie PK \(\boldsymbol{S}\)
Wariacja odkształcenia \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Macierz B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Siła wewnętrzna elementu \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Oba przypadki są przetwarzane według tej samej procedury: skonstruować \(\boldsymbol{B}_L\) z pochodnych przestrzennych funkcji kształtu; w sformułowaniu TL skonstruować i dodać \(\boldsymbol{B}_{NL}\) z bieżącego gradientu przemieszczenia; zaktualizować naprężenie (\(\boldsymbol{\sigma}\) lub \(\boldsymbol{S}\)) zgodnie z prawem konstytutywnym; a następnie numerycznie scałkować \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) lub \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) po obszarze elementu w punktach całkowania (Całkowanie numeryczne). Poza przełączeniem konfiguracji odniesienia (współrzędne węzłowe i konstrukcja macierzy \(\boldsymbol{B}\)) oraz zastąpieniem tensora naprężenia przebieg jest wspólny, dlatego FrontISTR implementuje obliczenia sił wewnętrznych dla obu sformułowań przy użyciu wspólnych podprogramów. Składanie wektorów sił wewnętrznych elementu \(\boldsymbol{q}^e\) i \(\boldsymbol{Q}^e\) do globalnego wektora sił wewnętrznych omówiono w Zewnętrznej pracy wirtualnej i składaniu równań globalnych.

Tematy powiązane