Analiza modalna¶

Uogólnione zagadnienie własne¶

W analizie drgań swobodnych ośrodka ciągłego domenę dyskretyzuje się przestrzennie i modeluje jako układ o wielu stopniach swobody ze skupionymi masami, jak pokazano na rysunku 2.3.1. Dla nietłumionego problemu drgań swobodnych równanie rządzące (równanie ruchu) ma następującą postać.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Tutaj $u$ jest uogólnionym wektorem przemieszczeń, $M$ jest macierzą masy, a $K$ jest macierzą sztywności. Niech naturalna częstość kołowa będzie oznaczona przez $\omega$, niech $a$, $b$ i $c$ będą dowolnymi stałymi, a $x$ wektorem. Zdefiniujmy funkcję

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Druga pochodna tego wyrażenia wynosi

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Podstawienie tych wyrażeń do równania $\eqref{eq:2.3.1}$ daje

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

czyli

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

otrzymujemy.

Zatem jeśli równanie $\eqref{eq:2.3.5}$ jest spełnione przez współczynnik $\lambda = \omega^2$ i można znaleźć wektor $x$, funkcja $u(t)$ jest rozwiązaniem równania $\eqref{eq:2.3.1}$.

Współczynnik $\lambda$ nazywa się wartością własną, a wektor $x$ — wektorem własnym. Problem ich wyznaczenia z równania $\eqref{eq:2.3.1}$ nazywa się uogólnionym zagadnieniem własnym.

Przykład układu o wielu stopniach swobody w nietłumionych drganiach swobodnych

Rysunek 2.3.1 Przykład układu o wielu stopniach swobody w nietłumionych drganiach swobodnych

Własności macierzy i założenia¶

Dla uogólnionego zagadnienia własnego $K x = \lambda M x$ otrzymanego w poprzedniej sekcji w tym podręczniku przyjmuje się następujące własności macierzy. Założenia te stanowią podstawę zbieżności i zakresu stosowalności opisanych poniżej metod odwrotnej iteracji z przesunięciem i Lanczosa. Dla macierzy zespolonej transpozycja oznacza sprzężenie zespolone, natomiast macierz rzeczywista jest symetryczna. Dokładniej, dla macierzy $K$, jeśli jej składową $ij$ oznaczono przez $k_{ij}$, a sprzężenie zespolone $k$ przez $\bar{k}$, to

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

zachodzi następująca zależność.

W tym podręczniku zakłada się, że macierze są symetryczne i dodatnio określone. Dodatnia określoność oznacza, że wszystkie wartości własne są dodatnie; równoważnie macierz zawsze spełnia poniższe równanie $\eqref{eq:2.3.7}$.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Odwrotna iteracja z przesunięciem¶

W analizie konstrukcji metodą elementów skończonych w praktyce zazwyczaj nie są potrzebne wszystkie wartości własne; w wielu przypadkach wystarcza kilka wartości własnych najniższych rzędów. HEC-MW jest przeznaczony do problemów wielkoskalowych, dla których macierze są duże i bardzo rzadkie (zawierają wiele elementów zerowych). Dlatego ważne jest efektywne obliczanie wartości własnych modów niskiego rzędu z uwzględnieniem tej własności.

Niech $\sigma$ będzie dolnym ograniczeniem wartości własnych. Równanie $\eqref{eq:2.3.5}$ można wówczas przekształcić do następującej matematycznie równoważnej postaci.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

To przekształcenie ma następujące własności przydatne obliczeniowo.

Kolejność modów zostaje odwrócona.
Wartości własne bliskie $\rho$ są odwzorowywane na największe wartości.

W rzeczywistych obliczeniach często najpierw uzyskuje się największe wartości własne. Dlatego zamiast równania $\eqref{eq:2.3.5}$ główne obliczenie zbieżności stosuje się do równania $\eqref{eq:2.3.8}$, dążąc do uzyskania najpierw wartości własnych bliskich $\rho$. Technikę tę nazywa się odwrotną iteracją z przesunięciem.

Metoda Lanczosa¶

Uzasadnienie zastosowania (porównanie z metodą Jacobiego)¶

Wśród metod klasycznych dobrze znana jest metoda Jacobiego.

Metoda ta jest skuteczna, gdy macierz jest mała i gęsta. Ponieważ jednak macierze obsługiwane przez HEC-MW są duże i rzadkie, nie stosuje się metody Jacobiego; zamiast niej używana jest iteracyjna metoda Lanczosa.

Algorytm i charakterystyka¶

Metoda ta, zaproponowana przez C. Lanczosa w latach 50. XX wieku, jest algorytmem redukcji macierzy do postaci trójdiagonalnej i ma następujące cechy.

Jest iteracyjną metodą zbieżną i pozwala prowadzić obliczenia przy zachowaniu rzadkości macierzy.
Algorytm składa się głównie z mnożeń macierzy przez wektor i dobrze nadaje się do zrównoleglenia.
Dobrze nadaje się do geometrycznego podziału domeny związanego z siatkami elementów skończonych.
Efektywne obliczenia są możliwe przez ograniczenie liczby wyznaczanych wartości własnych i zakresu modów.

Metoda Lanczosa rozpoczyna się od wektora początkowego, kolejno generuje wektory ortogonalne i tworzy bazę podprzestrzeni. Uważa się ją za szybszą od metody podprzestrzeni, będącej inną metodą iteracyjną, i jest szeroko stosowana w programach metody elementów skończonych. Metoda ta jest jednak wrażliwa na błędy numeryczne, które mogą naruszyć ortogonalność wektorów i doprowadzić do załamania obliczeń. Dlatego środki zaradcze przeciw takim błędom numerycznym są niezbędne.

Interpretacja geometryczna (podprzestrzeń Kryłowa)¶

Wprowadzając w równaniu $\eqref{eq:2.3.8}$ następującą zmianę zmiennych,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problem można przepisać jako

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

otrzymujemy.

Dla odpowiedniego wektora $q_0$ zastosujmy przekształcenie liniowe reprezentowane przez macierz $A$ (zob. rysunek 2.3.2).

$Przekształcenie liniowe wektora $q_0$ przez macierz $A$$

Rysunek 2.3.2 Przekształcenie liniowe wektora $q_0$ przez macierz $A$

Przekształcony wektor jest ortogonalizowany w przestrzeni rozpiętej wspólnie z wektorem pierwotnym. Oznacza to wykonanie ortogonalizacji Grama-Schmidta, jak pokazano na rysunku 2.3.2. Niech otrzymany wektor będzie oznaczony przez $r_1$. Po znormalizowaniu go do długości jednostkowej otrzymujemy $q_1$ (rysunek 2.3.3). Z $q_1$ uzyskujemy $q_2$ tą samą procedurą. W tym momencie $q_2$ jest ortogonalny zarówno do $q_1$, jak i $q_0$ (rysunek 2.3.4). Kontynuując takie same obliczenia, otrzymuje się wzajemnie ortogonalne wektory aż do rzędu macierzy.

$Wektor ortogonalny do $q_0$: $q_1$$

Rysunek 2.3.3 Wektor ortogonalny do $q_0$: $q_1$

$Wektor ortogonalny do $q_1$ i $q_0$: $q_2$$

Rysunek 2.3.4 Wektor ortogonalny do $q_1$ i $q_0$: $q_2$

W szczególności algorytm Lanczosa stosuje się do ciągu wektorów $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

lub równoważnie $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

przez ortogonalizację Grama-Schmidta. Ten ciąg wektorów nazywa się ciągiem Kryłowa, a rozpinaną przez niego przestrzeń — podprzestrzenią Kryłowa. Gdy w tej przestrzeni wykonuje się ortogonalizację Grama-Schmidta, każdy nowy wektor można uzyskać z użyciem dwóch ostatnich wektorów. Nazywa się to zasadą Lanczosa.

Trójdiagonalizacja¶

W powyższej iteracji obliczenie wektora (i+1)-go można zapisać jako

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

gdzie

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

W zapisie macierzowym przyjmuje to postać

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

gdzie

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Wartości własne otrzymuje się zatem przez rozwiązanie zagadnienia własnego dla macierzy trójdiagonalnej otrzymanej z równania $\eqref{eq:2.3.13}$.

Tematy powiązane¶

Analiza odpowiedzi częstotliwościowej — odpowiedź częstotliwościowa z wykorzystaniem wyników analizy modalnej
Typy analiz — przegląd funkcjonalny analizy modalnej