Przejdź do treści

Ramy analizy przyrostowej

Potrzeba analizy przyrostowej

Jak opisano powyżej, w analizie problemów małych deformacji analizę metodą elementów skończonych można przeprowadzić, wykorzystując zasadę pracy wirtualnej, równoważną równaniom podstawowym takim jak równania równowagi, i dyskretyzując to równanie metodą elementów skończonych. Ta sama podstawowa zasada pracy wirtualnej jest również stosowana w analizie problemów dużych deformacji obejmujących znaczne odkształcenia konstrukcji.

Jednak w problemach dużych deformacji, nawet przy założeniu liniowości materiału, równanie zasady pracy wirtualnej staje się nieliniowe względem przemieszczenia. Do rozwiązywania równań nieliniowych zazwyczaj stosuje się obliczenia iteracyjne metodą iteracyjną.

W tych obliczeniach iteracyjnych stosuje się metodę analizy przyrostowej, w której obliczenia wykonuje się etapami dla małych przyrostów obciążenia, a przyrosty są sumowane aż do osiągnięcia końcowego stanu odkształconego. Przy założeniu problemu małych deformacji nie rozróżnia się szczególnie konfiguracji przed i po deformacji przy definiowaniu odkształcenia i naprężenia. Oznacza to, że przy założeniu małych deformacji nie ma znaczenia, czy konfiguracją używaną do opisu równań podstawowych jest konfiguracja przed deformacją, czy po deformacji.

Gdy analiza przyrostowa jest wykonywana dla problemu dużych deformacji, formulacja różni się zależnie od tego, czy jako konfigurację odniesienia przyjmuje się konfigurację początkową, czy konfigurację na początku przyrostu. Pierwszy przypadek nazywa się metodą Total Lagrange, a drugi metodą Updated Lagrange. Szczegółowe informacje zawiera literatura na końcu rozdziału oraz materiały powiązane.

Równanie wyjściowe: zasada pracy wirtualnej w chwili \(t'\)

Rozważmy analizę przyrostową, w której stan do chwili \(t\) jest znany, a stan w chwili \(t' = t + \Delta t\) jest nieznany (zob. rysunek 2.2.1). Równania równowagi, warunki brzegowe i zasada pracy wirtualnej w chwili \(t'\) (wyrażone w konfiguracji bieżącej za pomocą naprężenia Cauchy’ego \(^{t'}\sigma\) i liniowej części odkształcenia Almansiego \(^{t'} A_{(L)}\)) są podane w Zasadzie pracy wirtualnej.

Koncepcja analizy przyrostowej

Rysunek 2.2.1 Koncepcja analizy przyrostowej

Ponieważ jednak to równanie wyjściowe jest zapisane w (nieznanej) konfiguracji w chwili \(t'\), rzeczywista procedura rozwiązania wybiera jako konfigurację odniesienia albo konfigurację początkową \(V\) w chwili \(0\), albo konfigurację bieżącą \(^{t'} v\) w chwili \(t\), przepisuje równanie w postaci przyrostowej, a następnie je rozwiązuje:

  • Metoda Total Lagrange — jako odniesienie wykorzystuje konfigurację początkową \(V\). Stosuje się drugie naprężenie PK \(\boldsymbol{S}\) i odkształcenie Greena-Lagrange’a \(\boldsymbol{E}\).
  • Metoda Updated Lagrange — jako odniesienie wykorzystuje konfigurację bieżącą \(^{t}v\) na początku przyrostu. Stosuje się naprężenie Cauchy’ego \(\boldsymbol{\sigma}\) i liniową część odkształcenia Almansiego \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Dyskretyzację przestrzenną obu formulacji (macierz B i wektor sił wewnętrznych) opisano w Dyskretyzacji wirtualnej pracy sił wewnętrznych; linearyzację i konstrukcję sztywności stycznej opisano w Macierzy sztywności stycznej.

Tematy powiązane