Ir para o conteúdo

Estrutura da análise incremental

Necessidade da análise incremental

Como descrito anteriormente, na análise de problemas de pequenas deformações, a análise por elementos finitos pode ser realizada usando o princípio dos trabalhos virtuais, equivalente às equações fundamentais, como as equações de equilíbrio, e discretizando essa equação com elementos finitos. O mesmo princípio básico dos trabalhos virtuais também é usado na análise de problemas de deformações finitas que envolvem grandes deformações das estruturas.

Entretanto, em problemas de deformações finitas, mesmo supondo linearidade do material, a equação do princípio dos trabalhos virtuais torna-se não linear em relação ao deslocamento. Para resolver equações não lineares, geralmente são realizados cálculos iterativos por um método iterativo.

Nesses cálculos iterativos, utiliza-se um método de análise incremental no qual o cálculo é realizado por partes para pequenos incrementos de carga, e os incrementos são acumulados até que se atinja o estado deformado final. Quando se assume um problema de pequenas deformações, não se faz uma distinção particular entre as configurações antes e depois da deformação ao definir deformação e tensão. Ou seja, sob a hipótese de pequenas deformações, não importa se a configuração usada para descrever as equações fundamentais é a configuração anterior ou posterior à deformação.

Quando a análise incremental é realizada para um problema de deformações finitas, a formulação difere conforme se toma como configuração de referência a configuração inicial ou a configuração no início do incremento. A primeira é chamada de método de Lagrange Total, e a segunda, de método de Lagrange Atualizado. Para detalhes, consulte as referências ao final do capítulo e os materiais relacionados.

Equação inicial: princípio dos trabalhos virtuais no instante \(t'\)

Considere uma análise incremental na qual o estado até o instante \(t\) é conhecido e o estado no instante \(t' = t + \Delta t\) é desconhecido (ver Figura 2.2.1). As equações de equilíbrio, as condições de contorno e o princípio dos trabalhos virtuais no instante \(t'\) (expressos na configuração atual usando a tensão de Cauchy \(^{t'}\sigma\) e a parte linear da deformação de Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) são apresentados em Princípio dos trabalhos virtuais.

Conceito de análise incremental

Figura 2.2.1 Conceito de análise incremental

Entretanto, como essa equação inicial é escrita na configuração (desconhecida) no instante \(t'\), o procedimento real de solução seleciona como configuração de referência a configuração inicial \(V\) no instante \(0\) ou a configuração atual \(^{t'} v\) no instante \(t\), reescreve a equação na forma incremental e então a resolve:

  • Método de Lagrange Total — Usa a configuração inicial \(V\) como referência. São usadas a segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e a deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
  • Método de Lagrange Atualizado — Usa como referência a configuração atual \(^{t}v\) no início do incremento. São usadas a tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e a parte linear da deformação de Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Para a discretização espacial de ambas as formulações (matriz B e vetor de forças internas), consulte Discretização do trabalho virtual interno; para a linearização e a construção da rigidez tangente, consulte Matriz de rigidez tangente.

Tópicos relacionados