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Derivadas espaciais das funções de forma

As funções de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduzidas em Funções de forma e aproximação por elementos finitos são dadas como funções das coordenadas naturais \(\boldsymbol{r}\), que são as coordenadas locais de um elemento. Por outro lado, por meio da relação deformação-deslocamento, os integrandos da forma fraca contêm derivadas parciais em relação às coordenadas físicas (a configuração de referência \(\boldsymbol{X}\) ou a configuração atual \(\boldsymbol{x}\)), isto é, \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ou \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Esta seção organiza o procedimento para calcular essas derivadas espaciais das funções de forma a partir das coordenadas nodais do elemento e das derivadas em relação às coordenadas naturais.

Expressão das derivadas espaciais pela regra da cadeia

Aplicando a regra da cadeia à fórmula de interpolação \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (seção anterior) e usando a matriz Jacobiana \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) do mapeamento das coordenadas naturais para as coordenadas físicas, obtém-se

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Aqui, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) e \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) são matrizes nas quais a linha \(\alpha\) representa o vetor de derivadas parciais do nó \(\alpha\); cada uma é uma matriz \(n_e \times 3\).

Construção da matriz Jacobiana

Derivando a fórmula de interpolação em relação a \(\boldsymbol{r}\), obtém-se

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Assim, a matriz Jacobiana pode ser construída diretamente a partir das coordenadas nodais do elemento \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) e das derivadas em coordenadas naturais \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). As derivadas em coordenadas naturais são determinadas pela forma funcional das funções de forma e são implementadas previamente para cada tipo de elemento.

O determinante da matriz Jacobiana \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) é usado na integração numérica para transformar o elemento de volume como \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Se o determinante se tornar \(0\), o elemento é degenerado e o cálculo falha.

Fluxo de cálculo

A partir da derivação acima, o cálculo das derivadas espaciais \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) pode ser dividido nas quatro etapas seguintes.

  1. Calcular as derivadas em coordenadas naturais: usando como entrada o tipo de elemento e as coordenadas naturais \(\boldsymbol{r}\) do ponto de avaliação, calcule a matriz de derivadas em coordenadas naturais \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Como a forma funcional das funções de forma difere conforme o tipo de elemento, o processamento se ramifica pelo tipo de elemento.
  2. Calcular a matriz Jacobiana: a partir das coordenadas nodais do elemento \(\boldsymbol{X}^e\) e de \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), monte a matriz Jacobiana \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) usando a equação da seção anterior.
  3. Calcular a matriz inversa e o determinante: calcule a inversa \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) e o determinante da matriz Jacobiana. O determinante é usado na ponderação da integração numérica.
  4. Calcular as derivadas espaciais: a partir de \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) e \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\), obtenha as derivadas espaciais \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) como seu produto.

Essas quatro etapas se ramificam conforme o tipo de elemento e a dimensão espacial (duas ou três dimensões), mas o fluxo geral é comum.

Tratamento comum das configurações de referência e atual

O procedimento acima também pode ser aplicado simplesmente substituindo \(\boldsymbol{X}^e\) pelas coordenadas nodais atuais \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) para obter as derivadas espaciais \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) na configuração atual. Assim, o mesmo procedimento pode ser compartilhado entre as formulações Total Lagrangian e Updated Lagrangian alterando apenas as coordenadas nodais de entrada.

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