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Discretização do Trabalho Virtual Interno

A equação de trabalho virtual no instante \(t + \Delta t\), apresentada em Arcabouço da Análise Incremental, assume duas formas — as formulações Updated Lagrange e Total Lagrange — conforme a escolha da configuração de referência. Neste capítulo, a aproximação por elementos finitos introduzida em Funções de Forma e Aproximação por Elementos Finitos e Derivadas Espaciais das Funções de Forma é usada para discretizar espacialmente o trabalho virtual interno de ambas as formulações e obter os vetores de força interna do elemento \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) e \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Para o elemento \(e\), sejam os nós constituintes \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); sejam os deslocamentos \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), e organize o vetor de deslocamentos nodais do elemento como \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). O deslocamento virtual \(\delta \boldsymbol{u}^e\) é definido na mesma ordem. O deslocamento dentro do elemento é interpolado pelas funções de forma como \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Trabalho Virtual Interno na Formulação Updated Lagrange

Na formulação Updated Lagrange, no instante \(t\) a configuração atual \({}^{t}\Omega\) é usada como configuração de referência, e o trabalho virtual interno é escrito em termos da tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e da parte linear da deformação de Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) como

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Cada componente de \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) pode ser expresso, usando as coordenadas da configuração atual \(\boldsymbol{x}\), como uma combinação linear das derivadas das funções de forma \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) e dos deslocamentos virtuais nodais \(\delta u^e_{i\alpha}\). Na notação de Voigt, isso pode ser agrupado como

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

O bloco nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) é formado organizando \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) segundo a convenção de Voigt em uma matriz \(6 \times 3\), e \(\boldsymbol{B}_L\) é a matriz deformação-deslocamento da formulação UL. Substituindo isso no trabalho virtual interno e colocando \(\delta \boldsymbol{u}^e\) em evidência, obtém-se

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Para \(\boldsymbol{q}^e\), o bloco nodal \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) é a força interna do elemento \(\Omega^e\) atuando sobre o nó constituinte \(\alpha\).

Trabalho Virtual Interno na Formulação Total Lagrange

Na formulação Total Lagrange, a configuração inicial \(\Omega_0\) é usada como configuração de referência, e o trabalho virtual interno é escrito em termos da segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e da deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) como

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

A variação \(\delta \boldsymbol{E}\) é separada em um termo linear no deslocamento virtual e um termo não linear contendo produtos com o gradiente de deslocamento atual \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

O termo linear pode ser escrito aplicando-se a mesma regra de organização da formulação UL a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), resultando no bloco nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Somente as derivadas constituintes mudam de \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) para \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) devido à diferença da configuração de referência; usa-se o mesmo símbolo da formulação UL. O termo não linear usa produtos do gradiente de deslocamento atual \(\partial u_k/\partial X_j\) e de \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), organizados segundo a convenção de Voigt para formar o bloco nodal \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Assim, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), e \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) é a matriz deformação-deslocamento da formulação TL. Substituindo isso no trabalho virtual interno, obtém-se

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

O bloco nodal \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) é a força interna do elemento \(\Omega^e_0\) atuando sobre o nó constituinte \(\alpha\).

Correspondência entre UL/TL e Fluxo Computacional

Os vetores de força interna do elemento nas formulações Updated Lagrange e Total Lagrange correspondem da seguinte maneira.

Item Formulação Updated Lagrange Formulação Total Lagrange
Configuração de referência Configuração atual \({}^{t}\Omega^e\) Configuração inicial \(\Omega^e_0\)
Tensor de tensão Tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Segunda tensão PK \(\boldsymbol{S}\)
Variação de deformação \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matriz B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Força interna do elemento \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Ambas são processadas pelo mesmo procedimento: construir \(\boldsymbol{B}_L\) a partir das derivadas espaciais das funções de forma; na formulação TL, construir e adicionar \(\boldsymbol{B}_{NL}\) a partir do gradiente de deslocamento atual; atualizar a tensão (\(\boldsymbol{\sigma}\) ou \(\boldsymbol{S}\)) conforme a lei constitutiva; e integrar numericamente \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ou \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) sobre o domínio do elemento nos pontos de integração (Integração Numérica). Exceto pela troca da configuração de referência (coordenadas nodais e construção da matriz \(\boldsymbol{B}\)) e pela substituição do tensor de tensão, o processamento é comum; por isso, o FrontISTR implementa os cálculos de força interna das duas formulações usando sub-rotinas comuns. A montagem dos vetores de força interna dos elementos \(\boldsymbol{q}^e\) e \(\boldsymbol{Q}^e\) no vetor global de força interna é tratada em Trabalho Virtual Externo e Montagem das Equações Globais.

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