विषय पर बढ़ें

आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण

वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा में दिए गए समय \(t + \Delta t\) के आभासी-कार्य समीकरण के दो रूप होते हैं—Updated Lagrange और Total Lagrange—जो संदर्भ विन्यास के चयन पर निर्भर करते हैं। इस अध्याय में आकार फलन और सीमित तत्व सन्निकटन तथा आकार फलनों के स्थानिक अवकलज में प्रस्तुत सीमित तत्व सन्निकटन का उपयोग करके दोनों निरूपणों के आंतरिक आभासी कार्य का स्थानिक विविक्तीकरण किया जाता है और तत्व आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) तथा \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) प्राप्त किए जाते हैं।

तत्व \(e\) के लिए उसके घटक नोड \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) हों; विस्थापन \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) हों, और तत्व नोडीय विस्थापन सदिश को \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) के रूप में व्यवस्थित किया जाए। आभासी विस्थापन \(\delta \boldsymbol{u}^e\) को भी इसी क्रम में परिभाषित किया जाता है। तत्व के भीतर विस्थापन को आकार फलनों द्वारा \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) के रूप में इंटरपोलेट किया जाता है।

Updated Lagrange निरूपण में आंतरिक आभासी कार्य

Updated Lagrange निरूपण में समय \(t\) पर वर्तमान विन्यास \({}^{t}\Omega\) को संदर्भ विन्यास के रूप में लिया जाता है, और आंतरिक आभासी कार्य को Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) तथा Almansi विकृति के रैखिक भाग \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) के द्वारा इस प्रकार लिखा जाता है:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

वर्तमान-विन्यास निर्देशांक \(\boldsymbol{x}\) का उपयोग करते हुए \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) के प्रत्येक घटक को आकार-फलन अवकलज \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) और नोडीय आभासी विस्थापनों \(\delta u^e_{i\alpha}\) के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। Voigt संकेतन में इसे इस प्रकार समेटा जा सकता है:

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) को Voigt परंपरा के अनुसार \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) को \(6 \times 3\) मैट्रिक्स में व्यवस्थित करके बनाया जाता है, और \(\boldsymbol{B}_L\) UL निरूपण का विकृति-विस्थापन मैट्रिक्स है। इसे आंतरिक आभासी कार्य में प्रतिस्थापित करके \(\delta \boldsymbol{u}^e\) को बाहर निकालने पर प्राप्त होता है:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

\(\boldsymbol{q}^e\) के लिए नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\), घटक नोड \(\alpha\) पर कार्य करने वाला तत्व \(\Omega^e\) का आंतरिक बल है।

Total Lagrange निरूपण में आंतरिक आभासी कार्य

Total Lagrange निरूपण में प्रारंभिक विन्यास \(\Omega_0\) को संदर्भ विन्यास के रूप में लिया जाता है, और आंतरिक आभासी कार्य को द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) तथा Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) द्वारा इस प्रकार लिखा जाता है:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

परिवर्तन \(\delta \boldsymbol{E}\) को आभासी विस्थापन में रैखिक एक पद और वर्तमान विस्थापन प्रवणता \(\partial u_k/\partial X_j\) के साथ गुणनफल वाले अरैखिक पद में विभाजित किया जाता है:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

रैखिक पद को UL निरूपण के समान व्यवस्था नियम को \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) पर लागू करके लिखा जा सकता है, जिससे नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) मिलता है:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

संदर्भ विन्यास अलग होने के कारण केवल घटक अवकलज \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) से \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) में बदलते हैं; प्रतीक वही रखा जाता है जो UL निरूपण में है। अरैखिक पद में वर्तमान विस्थापन प्रवणता \(\partial u_k/\partial X_j\) और \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) के गुणनफलों को Voigt परंपरा के अनुसार व्यवस्थित करके नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) बनाया जाता है:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

अतः \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) है, और \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL निरूपण का विकृति-विस्थापन मैट्रिक्स है। इसे आंतरिक आभासी कार्य में प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

नोडीय ब्लॉक \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\), घटक नोड \(\alpha\) पर कार्य करने वाला तत्व \(\Omega^e_0\) का आंतरिक बल है।

UL/TL और गणनात्मक प्रवाह के बीच संबंध

Updated Lagrange और Total Lagrange निरूपणों में तत्व आंतरिक-बल सदिशों का संबंध निम्न प्रकार है।

मद Updated Lagrange निरूपण Total Lagrange निरूपण
संदर्भ विन्यास वर्तमान विन्यास \({}^{t}\Omega^e\) प्रारंभिक विन्यास \(\Omega^e_0\)
प्रतिबल टेन्सर Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) द्वितीय PK प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\)
विकृति परिवर्तन \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B मैट्रिक्स \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
तत्व आंतरिक बल \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

दोनों को समान प्रक्रिया से संसाधित किया जा सकता है: आकार फलनों के स्थानिक अवकलजों से \(\boldsymbol{B}_L\) बनाया जाता है; TL निरूपण में वर्तमान विस्थापन प्रवणता से \(\boldsymbol{B}_{NL}\) बनाकर जोड़ा जाता है; संरचनात्मक नियम के अनुसार प्रतिबल (\(\boldsymbol{\sigma}\) या \(\boldsymbol{S}\)) अद्यतन किया जाता है; और समाकलन बिंदुओं पर \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) या \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) का तत्व क्षेत्र पर संख्यात्मक समाकलन किया जाता है (संख्यात्मक समाकलन)। संदर्भ विन्यास बदलने (नोड निर्देशांक और \(\boldsymbol{B}\) मैट्रिक्स की रचना) तथा प्रतिबल टेन्सर बदलने के अतिरिक्त प्रसंस्करण समान है, इसलिए FrontISTR दोनों निरूपणों के आंतरिक-बल गणनाओं को साझा subroutine द्वारा लागू करता है। तत्व आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\) और \(\boldsymbol{Q}^e\) को वैश्विक आंतरिक-बल सदिश में assemble करने की प्रक्रिया बाह्य आभासी कार्य और वैश्विक समीकरणों का संयोजन में दी गई है।

संबंधित विषय