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Frequency Response Analysis

समस्या Formulation

Frequency response analysis, frequency domain में ऐसे system की steady-state response amplitude और phase का मूल्यांकन करता है जहाँ external force समय के साथ harmonically बदलता है। Governing equation of motion को damping की उपस्थिति और अनुपस्थिति में अलग तरह से संभाला जाता है, इसलिए यह अध्याय पहले undamped free vibration से eigenmodes निकालता है और फिर उन्हें modal basis के रूप में उपयोग करके damped harmonic response का विस्तार करता है।

Undamped Free Vibration और Eigenmodes

Damping की उपेक्षा करने पर equation of motion है

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

प्रत्येक eigenmode में displacement का विस्तार करने पर

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

मिलता है।

इसे Eq.\(\eqref{eq:2.6.1}\) में प्रतिस्थापित करने पर

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

मिलता है।

यह generalized eigenvalue problem है। Shifted inverse iteration और Lanczos method सहित इसके numerical solution methods Modal Analysis में दिए गए हैं। यहाँ परिणामी natural frequencies और eigenmodes के वे गुण संक्षेप में दिए जाते हैं जिनका उपयोग आगे harmonic-response expansion में किया जाता है।

Natural Frequencies का वास्तविक होना

Natural frequency के real होने को निम्न प्रकार दिखाया जा सकता है। \(\omega_j^2 = \lambda_j\) मानें। Eq.\(\eqref{eq:2.6.3}\) का complex conjugate लेने पर Eq.\(\eqref{eq:2.6.4}\) मिलता है।

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

\(\overline{U}_J^T\) से गुणा करने पर

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

मिलता है।

Eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\) से,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Mass matrix symmetric positive definite होने के कारण nonzero eigenvector के लिए

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

है।

अतः,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

इसलिए \(\omega_j^2 = \lambda_j\) real है।

Eigenmodes की Orthogonality और Normalization

दो अलग modes पर विचार करें।

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

इससे

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

और eigenvalues अलग होने पर

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

मिलता है।

अतः अलग eigenmodes mass matrix के सापेक्ष orthogonal हैं। उसी mode के लिए Eq.\(\eqref{eq:2.6.12}\) की तरह mass matrix के सापेक्ष normalization करने से आगे की प्रक्रिया सरल हो जाती है।

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Damping सहित Harmonic Response

अब damping सहित frequency response analysis का formulation प्रस्तुत किया जाता है। Governing equation of motion Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\) से दिया जाता है।

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Damping term को Rayleigh type माना जाता है और Eq.\(\eqref{eq:2.6.14}\) से व्यक्त किया जाता है।

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Modal analysis से प्राप्त eigenvectors का उपयोग करके समय t पर displacement vector को Eq.\(\eqref{eq:2.6.15}\) के रूप में expand किया जा सकता है।

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

मान लें external-force term harmonic form में है

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

तब \(b_{j}(t)\) निर्धारित किया जाता है। चूँकि Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\) में equation of motion forced vibration के रूप में है,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

होता है। Expansion coefficient \(b_{j}(t)\) के real और imaginary parts क्रमशः Eqs.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) और \(\eqref{eq:2.6.19}\) से दिए जाते हैं।

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

इससे अपेक्षित harmonic-response coefficients मिलते हैं।

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