संख्यात्मक समाकलन

आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण और बाह्य आभासी कार्य तथा समग्र समीकरण की असेंबली में प्राप्त तत्त्व आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) तथा तत्त्व दृढ़ता मैट्रिक्स \(\boldsymbol{K}^e\) तत्त्व क्षेत्र \(\Omega^e\) या \(\Omega^e_0\) पर समाकलनों के रूप में होते हैं। FrontISTR इन्हें Gauss quadrature से संख्यात्मक रूप से मूल्यांकित करता है।

Gauss Quadrature और चर परिवर्तन

Gauss quadrature संदर्भ क्षेत्र \(\Xi\) पर किसी समाकलन को समाकलन बिंदुओं \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) पर समाकलनीय फलन के मानों और भारों \(w_i\) के रैखिक संयोजन से सन्निकट करता है। इसे तत्त्व क्षेत्र \(\Omega^e\) पर लागू करने में मैपिंग \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) द्वारा चर परिवर्तन शामिल होता है, जिससे

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

जहाँ \(n_q\) समाकलन बिंदुओं की संख्या है और \(J_{\xi_i}\) रूपांतरण जैकोबियन का निर्धारक है। संदर्भ क्षेत्र \(\Xi\) प्रत्येक तत्त्व प्रकार के लिए परिभाषित है (षट्फलक के लिए \([-1,1]^3\); त्रिभुज, चतुष्फलक और वेज के लिए संबंधित संदर्भ आकृतियाँ), और समाकलन बिंदु \(\boldsymbol{\xi}_i\) तथा भार \(w_i\) संख्यात्मक तालिकाओं के रूप में दिए जाते हैं। सतही समाकलनों को भी द्विविमीय संदर्भ क्षेत्र से तत्त्व मुख की मैपिंग द्वारा इसी रूप में संभाला जाता है।

FrontISTR द्वारा प्रयुक्त समाकलन बिंदुओं की प्रतिनिधि संख्याएँ नीचे दी गई हैं (तत्त्व प्रकारों के अनुरूपता के लिए तत्त्व क्रमांकन प्रणाली और आकार-फलन लाइब्रेरी देखें)।

तत्त्व प्रकार	Quadrature नियम	समाकलन बिंदुओं की संख्या
4-नोड चतुष्फलक (tet4n)	1-बिंदु नियम	1
10-नोड चतुष्फलक (tet10n)	4-बिंदु नियम	4
6-नोड त्रिभुजीय प्रिज़्म (prism6n)	2-बिंदु नियम	2
15-नोड त्रिभुजीय प्रिज़्म (prism15n)	9-बिंदु नियम	9
8-नोड षट्फलक (hex8n)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-नोड षट्फलक (hex20n)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-नोड चतुर्भुज (quad4n)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-नोड चतुर्भुज (quad8n)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-नोड त्रिभुज (tri3n)	1-बिंदु नियम	1
6-नोड त्रिभुज (tri6n)	3-बिंदु नियम	3

षट्फलकीय, चतुर्भुजीय और रेखा तत्त्वों के लिए प्रत्येक निर्देशांक दिशा में Gauss-Legendre नियम के टेन्सर गुणनफल उपयोग किए जाते हैं। त्रिभुज, चतुष्फलक और त्रिभुजीय प्रिज़्म simplex-प्रकार ज्यामितियों के अनुकूल समर्पित नियमों का उपयोग करते हैं (ऐसी बिंदु व्यवस्थाएँ जो स्वयं त्रिभुज पर बहुपदों का ठीक-ठीक समाकलन करती हैं)।

तत्त्व समाकलन में अनुप्रयोग

तत्त्व समाकलन में प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) को संदर्भ क्षेत्र के निर्देशांक (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) के रूप में उपयोग किया जाता है, और भौतिक निर्देशांकों की मैपिंग आकार फलनों द्वारा नोडल-निर्देशांक इंटरपोलेशन से दी जाती है। संदर्भ विन्यास के चयन (वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा) के अनुसार निम्न सूत्रीकरण उपयोग होते हैं।

Total Lagrangian विधि (संदर्भ विन्यास \(\Omega^e_0\) पर समाकलन): मैपिंग और जैकोबियन हैं

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

और तत्त्व आंतरिक बल तथा दृढ़ता मैट्रिक्स का सन्निकटन है

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) सभी का मूल्यांकन समाकलन बिंदु \(\boldsymbol{r}_i\) पर किया जाता है।

Updated Lagrangian विधि (वर्तमान विन्यास \(\Omega^e\) पर समाकलन): मैपिंग और जैकोबियन हैं

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

और

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

को सन्निकटन के रूप में उपयोग किया जाता है।

दोनों सूत्रीकरणों में एकमात्र अंतर यह है कि मैपिंग को दिए गए नोडल निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) हैं या \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); समाकलन बिंदु, भार और समाकलन-बिंदु लूप की संरचना समान है।

पूर्ण समाकलन और घटित समाकलन

समाकलनीय फलन के बहुपद क्रम को ठीक-ठीक समाकलित करने के लिए पर्याप्त समाकलन बिंदुओं का उपयोग करने वाला समाकलन पूर्ण समाकलन कहलाता है, जबकि उससे एक स्तर कम समाकलन बिंदुओं वाला समाकलन घटित समाकलन कहलाता है। घटित समाकलन का उपयोग shear और volumetric locking को कम करने के लिए किया जाता है, पर hourglass modes जैसे कृत्रिम विरूपण मोड के उपचार की आवश्यकता होती है। प्रत्येक तत्त्व प्रकार के समाकलन बिंदुओं की संख्या और पूर्ण तथा घटित समाकलन के चयन का वर्णन तत्त्व क्रमांकन प्रणाली और आकार-फलन लाइब्रेरी तथा उसके बाद के अनुभागों और उन्नत तत्त्व सूत्रीकरण में है।

संबंधित विषय

• आकार फलनों के स्थानिक अवकलज — जैकोबियन की गणना
• आंतरिक आभासी कार्य का विविक्तीकरण — संख्यात्मक समाकलन से मूल्यांकित राशियाँ
• उन्नत तत्त्व सूत्रीकरण — घटित समाकलन का उपयोग