गतिशील विश्लेषण विधियाँ

यह अनुभाग direct time integration का उपयोग करने वाली गतिशील समस्याओं की विश्लेषण विधियों का वर्णन करता है। Implicit और explicit विधियों के formulations नीचे दिए गए हैं।

गति समीकरण का विविक्तीकरण (सामान्य ढाँचा)

TBD (अगले चरण में पूरा किया जाएगा)।

Implicit विधि (Newmark-β विधि)

गतिशील समस्याओं के लिए नीचे दिए गए गति समीकरण को हल करने हेतु direct time integration विधि लागू की जाती है।

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

यहाँ \(M\) mass matrix, \(C\) damping matrix, \(Q\) internal-force vector और \(F\) external-force vector है। गैर-रैखिक विश्लेषण में भी mass matrix को deformation से स्वतंत्र और स्थिर माना जाता है।

समय वृद्धि \(\Delta t\) के दौरान displacement, velocity और acceleration के परिवर्तन को Newmark-\(\beta\) विधि द्वारा समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) और \(\eqref{eq:2.5.3}\) के अनुसार सन्निकट किया जाता है।

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

यहाँ \(\gamma\) और \(\beta\), Newmark-\(\beta\) विधि के पैरामीटर हैं।

जैसा कि सुविदित है, \(\gamma\) और \(\beta\) के निम्न मान क्रमशः linear acceleration method और trapezoidal rule के अनुरूप हैं।

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (linear acceleration method)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapezoidal rule)

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) और \(\eqref{eq:2.5.3}\) को समीकरण \(\eqref{eq:2.5.1}\) में प्रतिस्थापित करने पर निम्न समीकरण मिलता है।

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

विशेष रूप से, रैखिक समस्या में \(K_L\) linear stiffness matrix है और \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) होता है। इस संबंध को ऊपर के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर निम्न समीकरण मिलता है।

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

जहाँ acceleration को geometric boundary condition के रूप में निर्धारित किया गया है, वहाँ displacement समीकरण \(\eqref{eq:2.5.2}\) से निम्न प्रकार प्राप्त होता है।

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

इसी प्रकार, जहाँ velocity निर्धारित है, वहाँ displacement समीकरण \(\eqref{eq:2.5.6}\) से निम्न प्रकार प्राप्त होता है।

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

यहाँ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) पर nodal displacement है, और \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) पर nodal velocity है, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) समय \(t+\Delta{t}\) पर nodal acceleration है, \(i\) nodal degree-of-freedom number है और \(s\) node number है। Mass और damping terms को निम्न प्रकार संभाला जाता है।

Mass term का उपचार

सिद्धांततः mass matrix को lumped mass matrix के रूप में माना जाता है।

Damping term का उपचार

Damping term को समीकरण \(\eqref{eq:2.5.8}\) द्वारा व्यक्त Rayleigh damping के रूप में माना जाता है।

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

यहाँ \(R_m\) और \(R_k\), Rayleigh damping parameters हैं।

!DYNAMIC कार्ड पर निर्दिष्ट \(R_m\) और \(R_k\) मान पूरे मॉडल पर समान रूप से लागू होते हैं। प्रत्येक material के लिए अलग \(R_m\) और \(R_k\) मान देने हेतु उस material के !MATERIAL block के भीतर !DAMPING कार्ड निर्दिष्ट करें। जिस material के लिए !DAMPING निर्दिष्ट है, उससे संबंधित elements के लिए element mass matrix \(M_i\) और tangent stiffness matrix \(K_i\) से element damping matrix \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) की गणना की जाती है और उसे global damping matrix में assemble किया जाता है। यह सुविधा केवल implicit विधि में प्रभावी है।

Explicit विधि (Central Difference विधि)

Explicit विधि नीचे दिए समय t के गति समीकरण पर आधारित है।

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

समय \(t + \Delta t\) और \(t - \Delta t\) पर displacements को समय \(t\) के आसपास Taylor expansion से व्यक्त करके तथा \(\Delta t\) के second-order तक terms रखने पर निम्न समीकरण मिलते हैं।

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.3}\) और \(\eqref{eq:2.5.4}\) का अंतर और योग लेने पर निम्न समीकरण मिलते हैं।

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.5.12}\) और \(\eqref{eq:2.5.13}\) को समीकरण \(\eqref{eq:2.5.9}\) में प्रतिस्थापित करने पर निम्न समीकरण मिलता है।

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

विशेष रूप से, रैखिक समस्या में \(Q(t) = K_L U(t)\) होता है, और ऊपर का समीकरण

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

बन जाता है।

यदि mass matrix \(M\) को lumped mass matrix और damping matrix को proportional damping matrix \(C = R_m M\) माना जाए, तो समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) में simultaneous equations हल करने की आवश्यकता नहीं होती।

अतः समीकरण \(\eqref{eq:2.5.15}\) से \(U(t+\Delta t)\) निम्न समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

संबंधित विषय

• विश्लेषण प्रकार — dynamic-analysis functions का अवलोकन और चयन
• संदर्भ