Lewati ke isi

Metode Analisis Dinamik

Bagian ini menjelaskan metode analisis untuk masalah dinamik menggunakan integrasi waktu langsung. Formulasi metode implisit dan eksplisit disajikan di bawah ini.

Diskretisasi Persamaan Gerak (Kerangka Umum)

TBD (akan diselesaikan pada fase berikutnya).

Metode Implisit (Metode Newmark-β)

Untuk masalah dinamik, metode integrasi waktu langsung diterapkan untuk menyelesaikan persamaan gerak yang ditunjukkan di bawah ini.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Di sini, \(M\) adalah matriks massa, \(C\) adalah matriks redaman, \(Q\) adalah vektor gaya internal, dan \(F\) adalah vektor gaya eksternal. Matriks massa diasumsikan tetap konstan tanpa bergantung pada deformasi, bahkan dalam analisis nonlinier.

Perubahan perpindahan, kecepatan, dan percepatan selama increment waktu \(\Delta t\) didekati menggunakan metode Newmark-\(\beta\) seperti ditunjukkan pada Pers. \(\eqref{eq:2.5.2}\) dan Pers. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Di sini, \(\gamma\) dan \(\beta\) adalah parameter metode Newmark-\(\beta\).

Seperti diketahui, nilai \(\gamma\) dan \(\beta\) berikut masing-masing bersesuaian dengan metode percepatan linier dan aturan trapesium.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metode percepatan linier)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (aturan trapesium)

Mensubstitusikan Pers. \(\eqref{eq:2.5.2}\) dan Pers. \(\eqref{eq:2.5.3}\) ke dalam Pers. \(\eqref{eq:2.5.1}\) memberikan persamaan berikut.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Khusus untuk masalah linier, \(K_L\) adalah matriks kekakuan linier dan \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Mensubstitusikan hubungan ini ke persamaan di atas memberikan persamaan berikut.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Pada lokasi yang percepatannya ditentukan sebagai kondisi batas geometrik, perpindahan diperoleh dari Pers. \(\eqref{eq:2.5.2}\) sebagai berikut.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Demikian pula, pada lokasi yang kecepatannya ditentukan, perpindahan diperoleh dari Pers. \(\eqref{eq:2.5.6}\) sebagai berikut.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Di sini, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) adalah perpindahan nodal pada waktu \(t+\Delta{t}\), dan \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) adalah kecepatan nodal pada waktu \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) adalah percepatan nodal pada waktu \(t+\Delta{t}\), \(i\) adalah nomor derajat kebebasan nodal, dan \(s\) adalah nomor node. Suku massa dan redaman ditangani sebagai berikut.

Penanganan Suku Massa

Pada prinsipnya, matriks massa diperlakukan sebagai matriks massa lumped.

Penanganan Suku Redaman

Suku redaman diperlakukan sebagai redaman Rayleigh yang dinyatakan oleh Pers. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Di sini, \(R_m\) dan \(R_k\) adalah parameter redaman Rayleigh.

Nilai \(R_m\) dan \(R_k\) yang ditentukan pada card !DYNAMIC diterapkan secara seragam ke seluruh model. Untuk menetapkan nilai \(R_m\) dan \(R_k\) yang berbeda untuk setiap material, di dalam blok !MATERIAL material tersebut tentukan card !DAMPING. Untuk elemen yang termasuk dalam material yang memiliki spesifikasi !DAMPING, matriks redaman elemen dihitung sebagai \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) dari matriks massa elemen \(M_i\) dan matriks kekakuan tangen \(K_i\), lalu dirakit ke dalam matriks redaman global. Fitur ini hanya efektif untuk metode implisit.

Metode Eksplisit (Metode Beda Tengah)

Metode eksplisit didasarkan pada persamaan gerak pada waktu t yang ditunjukkan di bawah ini.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Dengan menyatakan perpindahan pada waktu \(t + \Delta t\) dan \(t - \Delta t\) melalui ekspansi Taylor di sekitar waktu \(t\) dan mempertahankan suku hingga orde kedua dalam \(\Delta t\), diperoleh persamaan berikut.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Mengambil selisih dan jumlah Pers. \(\eqref{eq:2.5.3}\) dan Pers. \(\eqref{eq:2.5.4}\) memberikan persamaan berikut.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Mensubstitusikan Pers. \(\eqref{eq:2.5.12}\) dan Pers. \(\eqref{eq:2.5.13}\) ke dalam Pers. \(\eqref{eq:2.5.9}\) memberikan persamaan berikut.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Khusus untuk masalah linier, \(Q(t) = K_L U(t)\), dan persamaan di atas menjadi

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Jika matriks massa \(M\) dianggap sebagai matriks massa lumped dan matriks redaman sebagai matriks redaman proporsional \(C = R_m M\), Pers. \(\eqref{eq:2.5.15}\) tidak memerlukan penyelesaian persamaan simultan.

Oleh karena itu, dari Pers. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) dapat diperoleh dengan persamaan berikut.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Topik Terkait