Lewati ke isi

Fungsi Bentuk dan Aproksimasi Elemen Hingga

Untuk menangani bentuk lemah dari prinsip kerja virtual secara komputasional, domain benda dibagi menjadi sejumlah elemen hingga, dan koordinat titik material, perpindahan, serta fungsi uji di dalam setiap elemen diinterpolasi dari nilai nodal dan fungsi bentuk. Turunan spasial fungsi bentuk dibahas dalam Turunan Spasial Fungsi Bentuk, diskretisasi bentuk lemah dalam Diskretisasi Kerja Virtual Internal, dan bentuk spesifik fungsi bentuk untuk setiap tipe elemen dalam Sistem Penomoran Elemen dan Library Fungsi Bentuk serta bagian-bagian berikutnya.

Pembagian Domain dan Jumlah Integral per Elemen

Domain \(\Omega_0\) pada konfigurasi referensi dan domain \(\Omega\) pada konfigurasi saat ini masing-masing diaproksimasi oleh gabungan elemen \(\Omega^e_0\) dan \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) adalah nomor elemen, dan batas elemen digunakan bersama oleh elemen yang bersebelahan.) Dengan demikian, integral volume dan permukaan dalam prinsip kerja virtual diuraikan menjadi jumlah integral pada masing-masing elemen:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Hal yang sama berlaku untuk konfigurasi saat ini dengan mengganti \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), dan \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Selanjutnya, evaluasi bentuk lemah direduksi menjadi penyusunan integral untuk setiap elemen.

Interpolasi Menggunakan Nilai Nodal dan Fungsi Bentuk (Elemen Isoparametrik)

Setiap elemen \(\Omega^e_0\) diberi \(n_e\) node. Misalkan koordinat konfigurasi referensi dan perpindahan nodal dari node elemen \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) adalah \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Vektor nodal elemen \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) dan \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) dibentuk dengan menyusun nilai-nilai tersebut; vektor ini hanya memuat komponen node yang membentuk elemen \(e\), yang diambil dari vektor nodal global \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) adalah jumlah total node).

Dengan menggunakan koordinat alami \(\boldsymbol{r}\), yaitu koordinat lokal di dalam elemen, sebagai parameter, fungsi bentuk \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) menginterpolasi koordinat material, perpindahan, dan fungsi uji di dalam elemen dengan fungsi bentuk yang sama (elemen isoparametrik dan metode Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Fungsi bentuk disusun agar memenuhi dua sifat berikut, dan geometri elemen dipilih sehingga pemetaan \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) dari koordinat alami ke koordinat material bersifat satu-ke-satu di dalam elemen:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) adalah titik dalam koordinat alami yang bersesuaian dengan node \(\alpha\), dan \(\delta_{\alpha\beta}\) adalah delta Kronecker.) Persamaan pertama menjamin reproduksi translasi benda kaku, dan persamaan kedua menjamin bahwa nilai interpolasi sama dengan nilai nodal pada setiap node. Bentuk spesifik \(n_e\) dan \(N_\alpha^e\) untuk setiap tipe elemen diberikan dalam Sistem Penomoran Elemen dan Library Fungsi Bentuk dan bagian-bagian berikutnya. Untuk menghindari notasi yang rumit, ketergantungan pada tipe elemen direpresentasikan oleh superskrip per-elemen \(e\).

Dengan aturan interpolasi di atas, integran bentuk lemah dapat dinyatakan hanya dengan nilai nodal elemen \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) dan \(N_\alpha^e\). Sebaliknya, regangan diturunkan dari perpindahan yang telah diinterpolasi dan hubungan regangan-perpindahan, sedangkan tegangan diturunkan dari regangan tersebut dan hukum konstitutif material; besaran-besaran ini tidak diinterpolasi langsung dari nilai nodal. Besaran tersebut dievaluasi pada titik integrasi di dalam elemen (Integrasi Numerik).

Aturan Pengurutan Vektor Nodal Global

Besaran fisik yang diberikan pada node disusun dalam vektor nodal global menurut urutan menaik nomor node → derajat kebebasan. Jika pada node \(\alpha\) komponen derajat kebebasan \(i\) dinyatakan sebagai \(u_{i\alpha}\), maka masing-masing untuk tiga dimensi (\(i=1,2,3\)) dan dua dimensi (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinat \(\boldsymbol{X}^n\) dan fungsi uji \(\delta\boldsymbol{u}^n\) mengikuti pengurutan yang sama. Selanjutnya, penurunan dalam bentuk matriks dan vektor ditulis dengan kasus tiga dimensi sebagai representatif.

Topik Terkait