Gerak, Deformasi, dan Regangan¶

Konfigurasi Referensi dan Konfigurasi Saat Ini¶

Definisi Konfigurasi¶

Untuk membedakan bentuk pada waktu mana yang digunakan sebagai dasar untuk mendeskripsikan besaran fisik, manual ini menggunakan dua konfigurasi.

Konfigurasi referensi: bentuk tak terdeformasi pada awal analisis (waktu \(0\)), juga disebut konfigurasi awal. Sebuah titik dalam konfigurasi referensi dinyatakan oleh koordinat material \(\boldsymbol{X}\), dengan volume \(V\) dan permukaan \(S\).
Konfigurasi saat ini: bentuk terdeformasi pada waktu \(t\). Sebuah titik dalam konfigurasi saat ini dinyatakan oleh koordinat spasial \(\boldsymbol{x}\), dengan volume \(v\) dan permukaan \(s\).

Gerak dinyatakan sebagai pemetaan antara kedua konfigurasi ini, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), dan perpindahan didefinisikan sebagai \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Notasi yang Bergantung pada Konfigurasi (Huruf Besar/Huruf Kecil)¶

Besar-kecil huruf suatu simbol membedakan konfigurasi tempat besaran fisik tersebut berada.

Besaran yang termasuk dalam konfigurasi referensi ditulis dengan simbol huruf besar (misalnya, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Besaran yang termasuk dalam konfigurasi saat ini ditulis dengan simbol huruf kecil (misalnya, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Besaran yang mencakup kedua konfigurasi, seperti tegangan Piola-Kirchhoff pertama \(\boldsymbol{P}\), menggunakan notasi konvensional dan diidentifikasi secara eksplisit dalam teks sesuai kebutuhan.
Dalam teori deformasi kecil, perbedaan antara kedua konfigurasi hilang, sehingga hanya simbol huruf kecil (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) yang digunakan.

Gradien Konfigurasi Referensi dan Konfigurasi Saat Ini¶

Notasi dan maknanya berbeda bergantung pada konfigurasi yang digunakan sebagai acuan untuk mengambil turunan spasial.

Gradien konfigurasi referensi \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradien terhadap koordinat material. Contoh: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradien konfigurasi saat ini \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradien terhadap koordinat spasial. Contoh: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Keduanya berhubungan melalui \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Untuk konvensi turunan waktu (turunan waktu material \(\dot{(\cdot)}\)), lihat Notasi Tensor dan Dasar Matematika.

Deskripsi Gerak¶

Pemetaan Gerak dan Deskripsi Material/Spasial¶

Jika kontinuum dipandang sebagai kumpulan titik material yang diberi label berdasarkan posisinya \(\boldsymbol{X}\) pada waktu \(0\), gerak dinyatakan oleh pemetaan \(\phi\) yang memetakan setiap titik material \(\boldsymbol{X}\) ke posisinya \(\boldsymbol{x}\) pada waktu \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Dengan konvensi bahwa konfigurasi referensi adalah konfigurasi awal, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Dua deskripsi dibedakan berdasarkan pilihan variabel bebas.

Deskripsi material (deskripsi Lagrangian): menyatakan besaran fisik sebagai fungsi dari \((\boldsymbol{X}, t)\). Dalam mekanika padat, ini merupakan pilihan yang alami karena konfigurasi referensi diberikan sebagai bentuk yang tetap.
Deskripsi spasial (deskripsi Eulerian): menyatakan besaran fisik sebagai fungsi dari \((\boldsymbol{x}, t)\). Ini merupakan deskripsi standar dalam mekanika fluida.

Analisis struktur FrontISTR pada dasarnya didasarkan pada deskripsi material, tetapi metode Updated Lagrange juga menggunakan besaran dalam deskripsi spasial karena konfigurasi saat ini digunakan sebagai konfigurasi referensi baru.

Perpindahan, Kecepatan, dan Percepatan¶

Seperti dinyatakan pada bagian sebelumnya, perpindahan \(\boldsymbol{u}\) didefinisikan oleh \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Tidak ada asumsi mengenai besarannya, sehingga deformasi hingga tercakup. Vektor kecepatan dan percepatan didefinisikan sebagai turunan waktu material dari \(\boldsymbol{u}\) dengan titik material dipertahankan tetap:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Persamaan-persamaan ini mendefinisikan kecepatan dan percepatan.

Gradien Deformasi dan Tensor Deformasi¶

Tensor Gradien Deformasi¶

Besaran fundamental dalam mekanika kontinuum deformasi hingga adalah tensor gradien deformasi \(\boldsymbol{F}\). Tensor ini merupakan pemetaan linear yang memetakan elemen garis infinitesimal \(d\boldsymbol{X}\) dalam konfigurasi referensi ke elemen garis infinitesimal \(d\boldsymbol{x}\) dalam konfigurasi saat ini, dan didefinisikan sebagai gradien pemetaan gerak terhadap koordinat material:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Dengan definisi tersebut (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) pada keadaan tak terdeformasi. \(\boldsymbol{F}\) banyak digunakan untuk mendefinisikan regangan dan tegangan serta untuk mentransformasikan besaran fisik antar konfigurasi.

Rasio Volume¶

Rasio antara volume infinitesimal \(dV\) dalam konfigurasi referensi dan volume infinitesimal yang bersesuaian \(dv\) dalam konfigurasi saat ini disebut rasio volume \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Invertibilitas kontinuum mensyaratkan \(J > 0\). Kekekalan massa dinyatakan sebagai \(\rho_0 = J\rho\).

Tensor Deformasi Cauchy-Green Kanan dan Kiri¶

Karena gradien deformasi \(\boldsymbol{F}\) mencakup rotasi benda tegar, ukuran deformasi itu sendiri menggunakan besaran yang telah menghilangkan rotasi benda tegar. Tensor deformasi Cauchy-Green kanan \(\boldsymbol{C}\) (konfigurasi referensi) dan tensor deformasi Cauchy-Green kiri \(\boldsymbol{b}\) (konfigurasi saat ini) didefinisikan sebagai

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Keduanya merupakan tensor simetris dan memiliki eigenvalue yang sama (kuadrat dari principal stretch). Invarian utama fungsi energi regangan hiperelastis dinyatakan menggunakan tensor-tensor ini.

Tensor Regangan¶

Tensor Regangan Green-Lagrange¶

Sebagai ukuran regangan yang mengacu pada konfigurasi referensi, tensor regangan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) didefinisikan oleh

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Tensor ini simetris, merepresentasikan perubahan hasil kali dalam dari vektor infinitesimal dalam konfigurasi referensi, invarian terhadap rotasi benda tegar, dan memenuhi \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) pada keadaan tak terdeformasi. Dengan menggunakan \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) diperoleh

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Ini menyatakan regangan sebagai jumlah suku orde pertama dan orde kedua dalam gradien perpindahan; suku orde kedua merepresentasikan nonlinearity geometrik. Dalam metode Total Lagrange, pasangan ini digunakan sebagai pasangan konjugat kerja \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor Regangan Almansi¶

Sebagai ukuran regangan yang mengacu pada konfigurasi saat ini, tensor regangan Almansi \(\boldsymbol{e}\) didefinisikan oleh

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Tensor ini berhubungan dengan regangan Green-Lagrange melalui \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensor Regangan Infinitesimal¶

Jika gradien perpindahan kecil (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), suku orde kedua dari regangan Green-Lagrange dapat diabaikan. Karena perbedaan antara kedua konfigurasi kemudian hilang, regangan tersebut mereduksi menjadi tensor regangan infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\), dengan gradien ditulis dalam koordinat spasial:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR menggunakan ukuran regangan ini untuk analisis statik linear, analisis modal, analisis respons frekuensi, dan analisis dinamik linear. Analisis deformasi hingga menggunakan \(\boldsymbol{E}\) dalam metode Total Lagrange dan tensor laju deformasi \(\boldsymbol{D}\) yang mengacu pada konfigurasi saat ini dalam metode Updated Lagrange.