Bewegung, Verformung und Verzerrung¶

Referenz- und aktuelle Konfiguration¶

Definition der Konfigurationen¶

Um zu unterscheiden, welche zeitliche Form als Bezugszustand für die Beschreibung physikalischer Größen dient, verwendet dieses Handbuch zwei Konfigurationen.

Referenzkonfiguration (reference configuration): die unverformte Gestalt zu Beginn der Analyse (Zeitpunkt \(0\)), auch Ausgangskonfiguration genannt. Ein Punkt in der Referenzkonfiguration wird durch die Materialkoordinate \(\boldsymbol{X}\) dargestellt; das Volumen wird mit \(V\) und die Oberfläche mit \(S\) bezeichnet.
Aktuelle Konfiguration (current configuration): die verformte Gestalt zum Zeitpunkt \(t\). Ein Punkt in der aktuellen Konfiguration wird durch die Raumkoordinate \(\boldsymbol{x}\) dargestellt; das Volumen wird mit \(v\) und die Oberfläche mit \(s\) bezeichnet.

Die Bewegung wird als Abbildung zwischen diesen beiden Konfigurationen \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) dargestellt; die Verschiebung ist definiert durch \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Konfigurationsabhängige Notation (Groß-/Kleinschreibung)¶

Die Groß- bzw. Kleinschreibung eines Symbols kennzeichnet, zu welcher Konfiguration eine physikalische Größe gehört.

Größen der Referenzkonfiguration werden mit Großbuchstaben geschrieben (z. B. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Größen der aktuellen Konfiguration werden mit Kleinbuchstaben geschrieben (z. B. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Für Größen, die sich auf beide Konfigurationen beziehen, wie die erste Piola-Kirchhoff-Spannung \(\boldsymbol{P}\), wird die konventionelle Notation verwendet und bei Bedarf im Text ausdrücklich erläutert.
In der Theorie kleiner Verformungen verschwindet die Unterscheidung zwischen beiden Konfigurationen, daher werden nur Kleinbuchstaben (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) verwendet.

Gradienten in Referenz- und aktueller Konfiguration¶

Notation und Bedeutung unterscheiden sich danach, bezüglich welcher Konfiguration eine räumliche Ableitung gebildet wird.

Gradient der Referenzkonfiguration \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): Gradient bezüglich der Materialkoordinaten. Beispiel: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient der aktuellen Konfiguration \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): Gradient bezüglich der Raumkoordinaten. Beispiel: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Beide sind durch \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) miteinander verknüpft. Zur Konvention für Zeitableitungen (materielle Zeitableitung \(\dot{(\cdot)}\)) siehe Tensornotation und mathematische Grundlagen.

Beschreibung der Bewegung¶

Bewegungsabbildung sowie materielle und räumliche Beschreibung¶

Wird ein Kontinuum als Menge von Materialpunkten aufgefasst, die durch ihre Position \(\boldsymbol{X}\) zum Zeitpunkt \(0\) gekennzeichnet sind, so wird die Bewegung durch eine Abbildung \(\phi\) dargestellt, die jedem Materialpunkt \(\boldsymbol{X}\) seine Position \(\boldsymbol{x}\) zum Zeitpunkt \(t\) zuordnet:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Nach der Konvention, dass die Referenzkonfiguration der Ausgangskonfiguration entspricht, gilt \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Je nach Wahl der unabhängigen Variablen werden zwei Beschreibungen unterschieden.

Materielle Beschreibung (Lagrange-Beschreibung): Physikalische Größen werden als Funktionen von \((\boldsymbol{X}, t)\) dargestellt. In der Festkörpermechanik ist dies eine natürliche Wahl, da die Referenzkonfiguration als feste Gestalt vorgegeben ist.
Räumliche Beschreibung (Euler-Beschreibung): Physikalische Größen werden als Funktionen von \((\boldsymbol{x}, t)\) dargestellt. Dies ist die Standardbeschreibung in der Strömungsmechanik.

Die Strukturanalyse in FrontISTR beruht grundsätzlich auf der materiellen Beschreibung. Bei der Updated-Lagrange-Methode werden jedoch auch Größen der räumlichen Beschreibung verwendet, da die aktuelle Konfiguration als neue Referenzkonfiguration dient.

Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung¶

Wie im vorherigen Abschnitt angegeben, ist die Verschiebung \(\boldsymbol{u}\) durch \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) definiert. Über ihre Größe wird keine Annahme getroffen, sodass auch endliche Verformungen erfasst werden. Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor sind als materielle Zeitableitungen von \(\boldsymbol{u}\) bei festgehaltenem Materialpunkt definiert:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Deformationsgradient und Deformationstensoren¶

Deformationsgradiententensor¶

Die grundlegende Größe der Kontinuumsmechanik bei endlichen Verformungen ist der Deformationsgradiententensor \(\boldsymbol{F}\). Er ist die lineare Abbildung, die ein infinitesimales Linienelement \(d\boldsymbol{X}\) der Referenzkonfiguration auf ein infinitesimales Linienelement \(d\boldsymbol{x}\) der aktuellen Konfiguration abbildet, und wird als Gradient der Bewegungsabbildung bezüglich der Materialkoordinaten definiert:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Damit gilt \(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\); im unverformten Zustand ist \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) wird in großem Umfang zur Definition von Verzerrung und Spannung sowie zur Transformation physikalischer Größen zwischen Konfigurationen verwendet.

Volumenänderungsverhältnis¶

Das Verhältnis des infinitesimalen Volumens \(dV\) in der Referenzkonfiguration zum entsprechenden infinitesimalen Volumen \(dv\) in der aktuellen Konfiguration wird als Volumenänderungsverhältnis \(J\) bezeichnet:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Für die Invertierbarkeit des Kontinuums wird \(J > 0\) vorausgesetzt. Die Massenerhaltung wird durch \(\rho_0 = J\rho\) ausgedrückt.

Rechter und linker Cauchy-Green-Deformationstensor¶

Da der Deformationsgradient \(\boldsymbol{F}\) eine Starrkörperrotation enthält, werden zur Beschreibung der eigentlichen Verformung Größen verwendet, aus denen die Starrkörperrotation entfernt ist. Der rechte Cauchy-Green-Deformationstensor \(\boldsymbol{C}\) (Referenzkonfiguration) und der linke Cauchy-Green-Deformationstensor \(\boldsymbol{b}\) (aktuelle Konfiguration) sind definiert als

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Beide sind symmetrische Tensoren und besitzen dieselben Eigenwerte (Quadrate der Hauptstreckungen). Die Hauptinvarianten hyperelastischer Verzerrungsenergiefunktionen werden mit diesen Tensoren ausgedrückt.

Verzerrungstensoren¶

Green-Lagrange-Verzerrungstensor¶

Als auf die Referenzkonfiguration bezogenes Verzerrungsmaß wird der Green-Lagrange-Verzerrungstensor \(\boldsymbol{E}\) definiert durch

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Er ist ein symmetrischer Tensor, der die Änderung des Skalarprodukts infinitesimaler Vektoren in der Referenzkonfiguration beschreibt, gegenüber Starrkörperrotationen invariant ist und im unverformten Zustand \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) erfüllt. Mit \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ergibt sich

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Damit wird die Verzerrung als Summe von Termen erster und zweiter Ordnung des Verschiebungsgradienten dargestellt; der Term zweiter Ordnung beschreibt die geometrische Nichtlinearität. In der Total-Lagrange-Methode wird das arbeitskonjugierte Paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) verwendet.

Almansi-Verzerrungstensor¶

Als auf die aktuelle Konfiguration bezogenes Verzerrungsmaß wird der Almansi-Verzerrungstensor \(\boldsymbol{e}\) definiert durch

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Er ist mit der Green-Lagrange-Verzerrung durch \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (Pull-back) verknüpft.

Infinitesimaler Verzerrungstensor¶

Ist der Verschiebungsgradient klein (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), kann der Term zweiter Ordnung der Green-Lagrange-Verzerrung vernachlässigt werden. Da dann auch die Unterscheidung zwischen den beiden Konfigurationen entfällt, geht sie in den infinitesimalen Verzerrungstensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\) über, wobei der Gradient in räumlichen Koordinaten geschrieben wird:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR verwendet dieses Verzerrungsmaß für lineare statische Analysen, Modalanalysen, Frequenzganganalysen und lineare dynamische Analysen. Bei Analysen endlicher Verformungen wird in der Total-Lagrange-Methode \(\boldsymbol{E}\) und in der Updated-Lagrange-Methode der auf die aktuelle Konfiguration bezogene Deformationsgeschwindigkeitstensor \(\boldsymbol{D}\) verwendet.