Движение, деформация и деформации¶

Начальная и текущая конфигурации¶

Определение конфигураций¶

Чтобы различать, относительно какой формы описываются физические величины, в данном руководстве используются два типа конфигураций.

Начальная конфигурация (reference configuration): недеформированная форма в начале анализа (в момент времени \(0\); также называется исходной конфигурацией). Точка в начальной конфигурации задается материальными координатами \(\boldsymbol{X}\), объем обозначается \(V\), а поверхность — \(S\).
Текущая конфигурация (current configuration): деформированная форма в момент времени \(t\). Точка в текущей конфигурации задается пространственными координатами \(\boldsymbol{x}\), объем обозначается \(v\), а поверхность — \(s\).

Движение представляется отображением между этими двумя конфигурациями \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), а перемещение определяется как \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Обозначения, зависящие от конфигурации (прописные/строчные буквы)¶

Принадлежность физической величины к той или иной конфигурации различается регистром символов.

Величины, относящиеся к начальной конфигурации, обозначаются прописными буквами (например, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Величины, относящиеся к текущей конфигурации, обозначаются строчными буквами (например, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Для величин, связывающих обе конфигурации, например первого тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа \(\boldsymbol{P}\), используются общепринятые обозначения, что каждый раз оговаривается в тексте.
В теории малых деформаций различие между двумя конфигурациями исчезает, поэтому используются только строчные обозначения (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Градиенты в начальной и текущей конфигурациях¶

Обозначение и смысл пространственного дифференцирования зависят от того, относительно какой конфигурации оно выполняется.

Градиент в начальной конфигурации \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): градиент по материальным координатам. Например, \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Градиент в текущей конфигурации \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): градиент по пространственным координатам. Например, \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Они связаны соотношением \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Соглашение о производной по времени (материальная производная \(\dot{(\cdot)}\)) см. в разделе Тензорные обозначения и математические основы.

Описание движения¶

Отображение движения, материальное и пространственное описания¶

Если рассматривать континуум как совокупность материальных точек, маркированных их положениями \(\boldsymbol{X}\) в момент времени \(0\), движение представляется отображением \(\phi\), которое каждой материальной точке \(\boldsymbol{X}\) ставит в соответствие ее положение \(\boldsymbol{x}\) в момент времени \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

При соглашении, согласно которому начальная конфигурация принимается за исходную, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

В зависимости от выбора независимых переменных различают два типа описания.

Материальное описание (лагранжево описание): физические величины представляются как функции \((\boldsymbol{X}, t)\). В механике твердого тела это естественный выбор, поскольку начальная конфигурация задается как фиксированная форма.
Пространственное описание (эйлерово описание): физические величины представляются как функции \((\boldsymbol{x}, t)\). Это стандартное описание в механике жидкости.

Структурный анализ в FrontISTR в основном основан на материальном описании, однако в методе Updated Lagrange текущая конфигурация используется как новая начальная конфигурация, поэтому одновременно применяются и величины пространственного описания.

Перемещение, скорость и ускорение¶

Перемещение \(\boldsymbol{u}\), как указано в предыдущем разделе, определяется как \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Предположений о его величине не вводится, поэтому рассматриваются также конечные деформации. Вектор скорости и вектор ускорения определяются как материальные производные по времени от \(\boldsymbol{u}\) при фиксированной материальной точке:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Градиент деформации и тензоры деформации¶

Тензор градиента деформации¶

Основной величиной в механике сплошной среды при конечных деформациях является тензор градиента деформации \(\boldsymbol{F}\). Это линейное отображение, переводящее бесконечно малый отрезок \(d\boldsymbol{X}\) в начальной конфигурации в бесконечно малый отрезок \(d\boldsymbol{x}\) в текущей конфигурации. Он определяется как градиент отображения движения по материальным координатам:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). В недеформированном состоянии \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). Тензор \(\boldsymbol{F}\) широко используется при определении деформаций и напряжений, а также при преобразовании физических величин между конфигурациями.

Коэффициент изменения объема¶

Отношение бесконечно малого объема \(dv\) в текущей конфигурации к бесконечно малому объему \(dV\) в начальной конфигурации называется коэффициентом изменения объема \(J\) и задается как

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Из требования обратимости континуума предполагается \(J > 0\). Закон сохранения массы записывается как \(\rho_0 = J\rho\).

Правый и левый тензоры деформации Коши—Грина¶

Поскольку градиент деформации \(\boldsymbol{F}\) включает жесткое вращение, для характеристики собственно деформации применяются величины, из которых жесткое вращение исключено. Правый тензор деформации Коши—Грина \(\boldsymbol{C}\) (для начальной конфигурации) и левый тензор деформации Коши—Грина \(\boldsymbol{b}\) (для текущей конфигурации) определяются как

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Оба являются симметричными тензорами и имеют одинаковые собственные значения (квадраты главных коэффициентов удлинения). Главные инварианты функции энергии деформации гиперупругого материала задаются с их использованием.

Тензоры деформации¶

Тензор деформации Грина—Лагранжа¶

В качестве меры деформации относительно начальной конфигурации тензор деформации Грина—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\) определяется как

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Это симметричный тензор, характеризующий изменение скалярного произведения бесконечно малых векторов в начальной конфигурации; он инвариантен относительно жесткого вращения и в недеформированном состоянии равен \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Если использовать \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), получаем

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

то есть сумму членов первого и второго порядка по градиенту перемещения; член второго порядка описывает геометрическую нелинейность. В методе Total Lagrange он используется как энергетически сопряженная пара \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Тензор деформации Альманси¶

В качестве меры деформации относительно текущей конфигурации тензор деформации Альманси \(\boldsymbol{e}\) определяется как

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

С деформацией Грина—Лагранжа он связан соотношением \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Тензор малых деформаций¶

Если градиент перемещения мал (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), член второго порядка в деформации Грина—Лагранжа можно отбросить. Поскольку при этом различие между двумя конфигурациями исчезает, выражение сводится к тензору малых деформаций \(\boldsymbol{\varepsilon}\), в котором градиент записан по пространственным координатам:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR использует эту меру деформации в линейном статическом анализе, модальном анализе, анализе частотного отклика и линейном динамическом анализе. При анализе конечных деформаций в методе Total Lagrange используется \(\boldsymbol{E}\), а в методе Updated Lagrange — тензор скорости деформации \(\boldsymbol{D}\), отнесенный к текущей конфигурации.