Movimiento, deformación y deformación unitaria¶

Configuración de referencia y configuración actual¶

Definición de las configuraciones¶

Para distinguir qué forma en el tiempo se utiliza como base al describir las magnitudes físicas, este manual utiliza dos configuraciones.

Configuración de referencia: forma no deformada al inicio del análisis (instante \(0\)), también denominada configuración inicial. Un punto de la configuración de referencia se representa mediante la coordenada material \(\boldsymbol{X}\), con volumen \(V\) y superficie \(S\).
Configuración actual: forma deformada en el instante \(t\). Un punto de la configuración actual se representa mediante la coordenada espacial \(\boldsymbol{x}\), con volumen \(v\) y superficie \(s\).

El movimiento se representa como un mapeo entre estas dos configuraciones, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), y el desplazamiento se define como \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Notación dependiente de la configuración (mayúsculas/minúsculas)¶

El uso de mayúsculas o minúsculas en los símbolos distingue la configuración a la que pertenece una magnitud física.

Las magnitudes pertenecientes a la configuración de referencia se escriben con símbolos en mayúsculas (por ejemplo, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Las magnitudes pertenecientes a la configuración actual se escriben con símbolos en minúsculas (por ejemplo, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Las magnitudes que abarcan ambas configuraciones, como la primera tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), utilizan la notación convencional y se identifican explícitamente en el texto cuando es necesario.
En la teoría de pequeñas deformaciones desaparece la distinción entre ambas configuraciones, por lo que solo se utilizan símbolos en minúsculas (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradientes respecto de la configuración de referencia y de la configuración actual¶

La notación y el significado difieren según la configuración respecto de la cual se toma una derivada espacial.

Gradiente respecto de la configuración de referencia \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradiente respecto de las coordenadas materiales. Ejemplo: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradiente respecto de la configuración actual \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradiente respecto de las coordenadas espaciales. Ejemplo: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Se relacionan mediante \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Para la convención de las derivadas temporales (derivada temporal material \(\dot{(\cdot)}\)), consulte Notación tensorial y fundamentos matemáticos.

Descripción del movimiento¶

Mapeo del movimiento y descripciones material/espacial¶

Si se considera el continuo como un conjunto de puntos materiales etiquetados por sus posiciones \(\boldsymbol{X}\) en el instante \(0\), el movimiento se representa mediante un mapeo \(\phi\) que asocia a cada punto material \(\boldsymbol{X}\) su posición \(\boldsymbol{x}\) en el instante \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Bajo la convención de tomar como configuración de referencia la configuración inicial, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Se distinguen dos descripciones según la elección de las variables independientes.

Descripción material (descripción lagrangiana): representa las magnitudes físicas como funciones de \((\boldsymbol{X}, t)\). En mecánica de sólidos es una elección natural porque la configuración de referencia se proporciona como una forma fija.
Descripción espacial (descripción euleriana): representa las magnitudes físicas como funciones de \((\boldsymbol{x}, t)\). Es la descripción estándar en mecánica de fluidos.

El análisis estructural de FrontISTR se basa fundamentalmente en la descripción material, pero el método de Lagrange actualizado también utiliza magnitudes de la descripción espacial, ya que la configuración actual se emplea como nueva configuración de referencia.

Desplazamiento, velocidad y aceleración¶

Como se indicó en la sección anterior, el desplazamiento \(\boldsymbol{u}\) se define mediante \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). No se hace ninguna hipótesis sobre su magnitud, por lo que se incluyen deformaciones finitas. Los vectores de velocidad y aceleración se definen como derivadas temporales materiales de \(\boldsymbol{u}\) manteniendo fijo el punto material:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Estas ecuaciones definen la velocidad y la aceleración.

Gradiente de deformación y tensores de deformación¶

Tensor gradiente de deformación¶

La magnitud fundamental en la mecánica del continuo con deformaciones finitas es el tensor gradiente de deformación \(\boldsymbol{F}\). Es el mapeo lineal que transforma un elemento de línea infinitesimal \(d\boldsymbol{X}\) de la configuración de referencia en un elemento de línea infinitesimal \(d\boldsymbol{x}\) de la configuración actual, y se define como el gradiente del mapeo del movimiento respecto de las coordenadas materiales:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Definido de este modo (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) en el estado no deformado. \(\boldsymbol{F}\) se utiliza ampliamente para definir deformación y tensión y para transformar magnitudes físicas entre configuraciones.

Relación de volúmenes¶

La relación entre un volumen infinitesimal \(dV\) de la configuración de referencia y el volumen infinitesimal correspondiente \(dv\) de la configuración actual se denomina relación de volúmenes \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

La invertibilidad del continuo requiere \(J > 0\). La conservación de la masa se expresa como \(\rho_0 = J\rho\).

Tensores de deformación de Cauchy-Green derecho e izquierdo¶

Como el gradiente de deformación \(\boldsymbol{F}\) incluye la rotación de cuerpo rígido, para medir la deformación propiamente dicha se utilizan magnitudes de las que se ha eliminado dicha rotación. El tensor de deformación de Cauchy-Green derecho \(\boldsymbol{C}\) (configuración de referencia) y el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo \(\boldsymbol{b}\) (configuración actual) se definen como

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Ambos son tensores simétricos y tienen los mismos valores propios (los cuadrados de los alargamientos principales). Los invariantes principales de las funciones de energía de deformación hiperelástica se expresan mediante estos tensores.

Tensores de deformación unitaria¶

Tensor de deformación de Green-Lagrange¶

Como medida de deformación referida a la configuración de referencia, el tensor de deformación de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) se define mediante

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Es un tensor simétrico que representa el cambio del producto interno de vectores infinitesimales en la configuración de referencia, es invariante frente a rotaciones de cuerpo rígido y satisface \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) en el estado no deformado. Utilizando \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) se obtiene

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Esto expresa la deformación como suma de términos de primer y segundo orden del gradiente de desplazamiento; el término de segundo orden representa la no linealidad geométrica. En el método de Lagrange total se utiliza como parte del par conjugado de trabajo \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor de deformación de Almansi¶

Como medida de deformación referida a la configuración actual, el tensor de deformación de Almansi \(\boldsymbol{e}\) se define mediante

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Se relaciona con la deformación de Green-Lagrange mediante \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensor de deformación infinitesimal¶

Cuando el gradiente de desplazamiento es pequeño (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), puede despreciarse el término de segundo orden de la deformación de Green-Lagrange. Como entonces desaparece la distinción entre ambas configuraciones, se reduce al tensor de deformación infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\), con el gradiente expresado en coordenadas espaciales:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR utiliza esta medida de deformación en el análisis estático lineal, el análisis modal, el análisis de respuesta en frecuencia y el análisis dinámico lineal. El análisis de deformaciones finitas utiliza \(\boldsymbol{E}\) en el método de Lagrange total y el tensor de velocidad de deformación \(\boldsymbol{D}\) referido a la configuración actual en el método de Lagrange actualizado.