Moto, deformazione e deformazione specifica¶

Configurazione di riferimento e configurazione attuale¶

Definizione delle configurazioni¶

Per distinguere quale forma nel tempo viene usata come riferimento per descrivere le grandezze fisiche, questo manuale utilizza due configurazioni.

Configurazione di riferimento: forma non deformata all'inizio dell'analisi (tempo \(0\)), detta anche configurazione iniziale. Un punto nella configurazione di riferimento è rappresentato dalla coordinata materiale \(\boldsymbol{X}\), con volume \(V\) e superficie \(S\).
Configurazione attuale: forma deformata al tempo \(t\). Un punto nella configurazione attuale è rappresentato dalla coordinata spaziale \(\boldsymbol{x}\), con volume \(v\) e superficie \(s\).

Il moto è rappresentato come una mappatura tra queste due configurazioni, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), e lo spostamento è definito come \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Notazione dipendente dalla configurazione (maiuscole/minuscole)¶

L'uso di lettere maiuscole o minuscole distingue la configurazione a cui appartiene una grandezza fisica.

Le grandezze appartenenti alla configurazione di riferimento sono indicate con simboli maiuscoli (ad esempio, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Le grandezze appartenenti alla configurazione attuale sono indicate con simboli minuscoli (ad esempio, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Le grandezze che collegano entrambe le configurazioni, come la prima tensione di Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), seguono la notazione convenzionale e, quando necessario, sono identificate esplicitamente nel testo.
Nella teoria delle piccole deformazioni, la distinzione tra le due configurazioni scompare, per cui si usano soltanto simboli minuscoli (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradienti nella configurazione di riferimento e nella configurazione attuale¶

La notazione e il significato differiscono a seconda della configurazione rispetto alla quale viene calcolata una derivata spaziale.

Gradiente nella configurazione di riferimento \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradiente rispetto alle coordinate materiali. Esempio: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradiente nella configurazione attuale \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradiente rispetto alle coordinate spaziali. Esempio: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Sono correlati da \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Per la convenzione relativa alle derivate temporali (derivata temporale materiale \(\dot{(\cdot)}\)), vedere Notazione tensoriale e fondamenti matematici.

Descrizione del moto¶

Mappatura del moto e descrizioni materiale/spaziale¶

Considerando un continuo come un insieme di punti materiali etichettati dalla loro posizione \(\boldsymbol{X}\) al tempo \(0\), il moto è rappresentato da una mappatura \(\phi\) che associa a ciascun punto materiale \(\boldsymbol{X}\) la sua posizione \(\boldsymbol{x}\) al tempo \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Con la convenzione di assumere la configurazione iniziale come configurazione di riferimento, vale \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Si distinguono due descrizioni in base alla scelta delle variabili indipendenti.

Descrizione materiale (descrizione lagrangiana): rappresenta le grandezze fisiche come funzioni di \((\boldsymbol{X}, t)\). Nella meccanica dei solidi è una scelta naturale, poiché la configurazione di riferimento è data come forma fissa.
Descrizione spaziale (descrizione euleriana): rappresenta le grandezze fisiche come funzioni di \((\boldsymbol{x}, t)\). È la descrizione standard nella meccanica dei fluidi.

L'analisi strutturale di FrontISTR si basa fondamentalmente sulla descrizione materiale, ma il metodo Updated Lagrange utilizza anche grandezze della descrizione spaziale, poiché la configurazione attuale viene adottata come nuova configurazione di riferimento.

Spostamento, velocità e accelerazione¶

Come indicato nella sezione precedente, lo spostamento \(\boldsymbol{u}\) è definito da \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Non si assume nulla sulla sua ampiezza, quindi sono incluse anche le deformazioni finite. I vettori velocità e accelerazione sono definiti come derivate temporali materiali di \(\boldsymbol{u}\) mantenendo fisso il punto materiale:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Queste equazioni definiscono la velocità e l'accelerazione.

Gradiente di deformazione e tensori di deformazione¶

Tensore gradiente di deformazione¶

La grandezza fondamentale nella meccanica dei continui a deformazioni finite è il tensore gradiente di deformazione \(\boldsymbol{F}\). Esso è la mappatura lineare che trasforma un elemento di linea infinitesimo \(d\boldsymbol{X}\) nella configurazione di riferimento nel corrispondente elemento di linea infinitesimo \(d\boldsymbol{x}\) nella configurazione attuale, ed è definito come il gradiente della mappatura del moto rispetto alle coordinate materiali:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Con questa definizione (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), nello stato non deformato vale \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) è ampiamente utilizzato per definire deformazioni e tensioni e per trasformare grandezze fisiche tra configurazioni.

Rapporto di volume¶

Il rapporto tra un volume infinitesimo \(dV\) nella configurazione di riferimento e il corrispondente volume infinitesimo \(dv\) nella configurazione attuale è detto rapporto di volume \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

L'invertibilità del continuo richiede \(J > 0\). La conservazione della massa si esprime come \(\rho_0 = J\rho\).

Tensori di deformazione di Cauchy-Green destro e sinistro¶

Poiché il gradiente di deformazione \(\boldsymbol{F}\) include la rotazione di corpo rigido, per misurare la deformazione vera e propria si utilizzano grandezze dalle quali tale rotazione è stata eliminata. Il tensore di deformazione di Cauchy-Green destro \(\boldsymbol{C}\) (configurazione di riferimento) e il tensore di deformazione di Cauchy-Green sinistro \(\boldsymbol{b}\) (configurazione attuale) sono definiti come

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Entrambi sono tensori simmetrici e hanno gli stessi autovalori (i quadrati degli allungamenti principali). Gli invarianti principali delle funzioni di energia di deformazione iperelastica sono espressi mediante questi tensori.

Tensori di deformazione specifica¶

Tensore di deformazione di Green-Lagrange¶

Come misura della deformazione riferita alla configurazione di riferimento, il tensore di deformazione di Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) è definito da

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

È un tensore simmetrico che rappresenta la variazione del prodotto interno tra vettori infinitesimi nella configurazione di riferimento, è invariante rispetto alle rotazioni di corpo rigido e soddisfa \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) nello stato non deformato. Usando \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) si ottiene

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Questa espressione rappresenta la deformazione come somma di termini del primo e del secondo ordine nel gradiente di spostamento; il termine del secondo ordine rappresenta la non linearità geometrica. Nel metodo Total Lagrange viene utilizzata la coppia energeticamente coniugata \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensore di deformazione di Almansi¶

Come misura della deformazione riferita alla configurazione attuale, il tensore di deformazione di Almansi \(\boldsymbol{e}\) è definito da

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

È correlato alla deformazione di Green-Lagrange da \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensore di deformazione infinitesima¶

Quando il gradiente di spostamento è piccolo (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), il termine del secondo ordine della deformazione di Green-Lagrange può essere trascurato. Poiché in tal caso la distinzione tra le due configurazioni scompare, si ottiene il tensore di deformazione infinitesima \(\boldsymbol{\varepsilon}\), con il gradiente espresso nelle coordinate spaziali:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR utilizza questa misura di deformazione per l'analisi statica lineare, l'analisi modale, l'analisi della risposta in frequenza e l'analisi dinamica lineare. Nell'analisi a deformazioni finite, il metodo Total Lagrange utilizza \(\boldsymbol{E}\), mentre il metodo Updated Lagrange utilizza il tensore di velocità di deformazione \(\boldsymbol{D}\) riferito alla configurazione attuale.