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Creep

Questo capitolo tratta la legge costitutiva di creep adottata da FrontISTR. Per i dettagli sulla scelta e sulle specifiche di input, vedere la sezione delle funzioni 03_material.

Fenomeno di creep e decomposizione additiva della deformazione

Lo spostamento dipendente dal tempo in condizioni di tensione costante è un fenomeno chiamato "creep".

Anche il comportamento viscoelastico descritto in precedenza può essere considerato una forma di creep lineare. Qui vengono descritti alcuni comportamenti di creep non lineare. In generale, la relazione costitutiva viene formulata aggiungendo questo fenomeno alla deformazione che si verifica istantaneamente, e si definisce come deformazione di creep \(\varepsilon^c\) la deformazione che si sviluppa durante il mantenimento di un determinato carico costante. Una relazione costitutiva che considera il creep utilizza normalmente la velocità di deformazione di creep \(\dot{\varepsilon}^c\), definita come funzione della tensione e della deformazione di creep totale.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Se la deformazione che si verifica istantaneamente è la deformazione elastica \(\varepsilon^e\), la deformazione totale viene espressa dalla seguente somma con la deformazione di creep.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

dove

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) è il tensore dei coefficienti elastici).

Legge di Norton

Come forma specifica della legge costitutiva di creep, FrontISTR adotta il seguente modello di Norton. In tale relazione costitutiva, la velocità di deformazione equivalente di creep \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) è espressa come funzione della tensione di Mises \(q\) e del tempo \(t\), come segue.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Qui \(A\), \(m\) e \(n\) sono costanti del materiale.

Integrazione temporale e aggiornamento della tensione

Come per i materiali plastici, per una legge costitutiva che presenta creep è necessario definire un metodo di integrazione temporale per l'analisi numerica. La relazione costitutiva considerando il creep è

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

dove \(\beta_{n+\theta}\) è

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Inoltre, l'incremento della deformazione di creep \(\Delta \varepsilon^c\) è posto mediante la seguente equazione non lineare semplificata

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

.

Nel calcolo iterativo con il metodo Newton-Raphson, assumendo come valore iniziale \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) e l'incremento di deformazione ottenuto dal metodo degli elementi finiti, la soluzione iterativa e la soluzione incrementale sono date dalla seguente equazione.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

dove

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

. Quando si esegue il metodo iterativo fino a quando il residuo \(R\) diventa \(\mathbf{0}\), si utilizzano la tensione \(\sigma_{n+1}\) e il modulo tangente

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

.

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