蠕变
本章介绍 FrontISTR 采用的蠕变本构关系。有关选择方法和输入指定的详细信息，请参阅功能部分 03_material。
蠕变现象与应变的加法分解
在应力恒定的情况下，随时间变化的位移称为“蠕变”现象。
前述黏弹性行为也可以视为一种线性蠕变现象。
这里将说明几种非线性蠕变。通常采用将该现象产生的应变加入瞬时应变中来构成本构关系的方法，
并将某一恒定载荷持续作用期间产生的应变定义为蠕变应变 \(\varepsilon^c\)。
考虑蠕变时的本构关系通常使用蠕变应变率 \(\dot{\varepsilon}^c\)，其定义为应力和总蠕变应变的函数。
\[
\dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c)
\]
若瞬时产生的应变为弹性应变 \(\varepsilon^e\)，则总应变表示为加上蠕变应变后的下式。
\[
\varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c
\]
其中，
\[
\varepsilon^e = c^{-1} : \sigma
\]
（\(c\) 为弹性系数张量）。
Norton 定律
作为蠕变本构关系的具体形式，FrontISTR 采用以下 Norton 模型。
其本构关系中，等效蠕变应变率 \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) 表示为 Mises 应力 \(q\) 和时间 \(t\) 的函数，如下式所示。
\[
\dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m
\]
其中 \(A\)、\(m\)、\(n\) 为材料常数。
时间积分与应力更新
与塑性材料相同，对于表现出蠕变的本构关系，必须给出数值分析中的时间积分方法。
考虑蠕变时的本构关系为
\[
\sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c)
\]
\[
\varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta}
\]
其中 \(\beta_{n+\theta}\) 为
\[
\beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1}
\]
。此外，蠕变应变增量 \(\Delta \varepsilon^c\) 由简化后的非线性方程
\[
R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0}
\]
确定。
在 Newton-Raphson 法的迭代计算中，以 \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) 为应力初值，并采用由有限元法求得的应变增量，迭代解和增量解如下式所示。
\[
R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)}
\]
其中，
\[
c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1}
\]
。
迭代求解直至残差 \(R\) 变为 \(\mathbf{0}\) 时，使用应力 \(\sigma_{n+1}\) 和切线模量
\[
c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1}
\]
。
相关项目