超弹性
本章介绍 FrontISTR 支持的超弹性本构关系。有关选择方法和输入设置的详细信息，请参阅功能篇 03_material。
现象（大变形可逆响应）
TBD（将在下一阶段补充正文）。
本构关系框架
对于各向同性超弹性材料，弹性势能来自相对于无应力初始状态具有各向同性的响应，
可以表示为右 Cauchy-Green 变形张量 \(C\) 的主不变量 \((I_1, I_2, I_3)\)，或去除体积变化后的变形张量主不变量 \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) 的函数，
即 \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) 或 \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\)。
超弹性材料的本构方程以第二 Piola-Kirchhoff 应力与 Green-Lagrange 应变之间的关系定义，其变形分析采用 Total Lagrange 法。
如果已知弹性势能 \(W\)，则可按如下方式计算第二 Piola-Kirchhoff 应力以及应力-应变关系。
\[
S = 2\frac{\partial W}{\partial C}
\]
\[
\mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C}
\]
下面列出 FrontISTR 所采用超弹性模型的弹性势能 \(W\)。
Neo-Hookean 超弹性模型
Neo-Hookean 超弹性模型是将具有各向同性的线性定律（Hooke 定律）扩展到可处理大变形问题的模型。
其弹性势能如下。
\[
W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2
\]
其中，\(C_{10}\) 和 \(D\) 为材料常数。
Mooney-Rivlin 超弹性模型
\[
W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2
\]
其中，\(C_{10}\)、\(C_{01}\) 和 \(D\) 为材料常数。
Mooney-Rivlin 各向异性超弹性模型
\[
W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3
\]
其中，\(C_{10}\)、\(C_{01}\) 和 \(D\) 是与各向同性模型共用的材料常数，\(C_{42}\) 和 \(C_{43}\) 是仅用于各向异性的材料常数。
Arruda-Boyce 超弹性模型
\[
\begin{aligned}
W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\
&\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right)
\end{aligned}
\]
\[
\mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}}
\]
其中，\(\mu_0\)、\(\lambda_m\) 和 \(D\) 为材料常数。
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