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接触分析

两个物体接触时，接触力 \(t_c\) 通过接触面传递。 将虚功原理方程改写如下。

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

其中，\(S_c\) 表示接触面积，\(u^{(1)}\) 和 \(u^{(2)}\) 分别表示接触物体 1 和接触物体 2 的位移。

在接触分析中，将可能发生接触的面成对指定。 这一对面中的一面作为主面，另一面作为从面。 在这种主从分析方法中，假定接触约束条件如下。

  1. 从节点不穿透主面。
  2. 发生接触时，从节点位于接触位置，主面和从面通过该接触点相互传递接触力和摩擦力。

用有限元法离散式 \(\eqref{eq:2.2.70}\) 的最后一项，得到下式

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

这里，\(K_c\) 和 \(F_c\) 分别表示接触刚度矩阵和接触力。 考虑接触约束的 total Lagrange 法和 updated Lagrange 法的有限元公式如下。

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

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