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接触解析

2つの物体が接触すると、接触面を介して接触力\(t_c\)が伝達される。 仮想仕事の原理式を以下のように書きかえる。

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

ここで、\(S_c\)は接触面積、\(u^{(1)}\)と\(u^{(2)}\)はそれぞれ接触物体1と接触物体2の変位を表している。

接触解析では、接触する可能性のある面を対にして指定する。 この面の対の片方をマスター面、もう片方をスレーブ面とする。 このマスタースレーブ解析手法では、接触拘束条件を以下のように仮定する。

  1. スレーブ節点は，マスター面を貫通しない。
  2. 接触があった時、スレーブ節点は接触位置とし、この接触点を通じマスター面とスレーブ面が互いに接触力，摩擦力を伝達する。

式\(\eqref{eq:2.2.70}\)の最後の項を有限要素により離散化して次式を得る

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

ここでは、\(K_c\)と\(F_c\)はそれぞれ接触剛性マトリクスおよび接触力を表す。 接触拘束を考慮したtotal Lagrange法およびupdated Lagrange法の有限要素法定式は以下のようになる。

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

関連項目