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形函数与有限元近似

为了在计算机上处理虚功原理的弱形式，将物体区域划分为有限个单元，并使用节点值和形函数插值单元内的物质点坐标、位移和测试函数。形函数的空间导数见形函数的空间导数，弱形式的离散化见内力虚功的离散化，各单元类型形函数的具体形式见单元编号体系与形函数库及后续章节。

区域划分与积分的单元求和

将参考构形中的区域 \(\Omega_0\) 和当前构形中的区域 \(\Omega\) 分别近似为单元 \(\Omega^e_0\)、\(\Omega^e\) 的并集：

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

（\(e\) 为单元编号，单元边界由相邻单元共享）。由此，虚功原理中的体积积分和面积积分可分解为各单元积分之和：

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

（对于当前构形，将 \(dV \to dv\)、\(\Omega^e_0 \to \Omega^e\)、\(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) 替换后同样成立）。此后，弱形式的求值归结为逐单元构造积分。

使用节点值与形函数的插值（等参单元）

每个单元 \(\Omega^e_0\) 分配 \(n_e\) 个节点。设单元节点 \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) 的参考构形坐标和节点位移为 \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)，将其排列所得的单元节点向量 \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\)、\(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)，是从全局节点向量 \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)（\(n_g\) 为总节点数）中仅提取构成单元 \(e\) 的节点分量而得到的。

使用单元内局部坐标即自然坐标 \(\boldsymbol{r}\) 作为参数的形函数 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)，以相同的形函数对单元内的物质坐标、位移和测试函数进行插值（等参单元、Galerkin 法）：

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

形函数构造为满足以下两个性质，并选择单元形状，使从自然坐标到物质坐标的映射 \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) 在单元内为一一映射：

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

（\(\boldsymbol{r}_\alpha\) 是对应于节点 \(\alpha\) 的自然坐标点，\(\delta_{\alpha\beta}\) 为 Kronecker delta）。第一个方程保证刚体平移的再现性，第二个方程保证插值值在节点处与节点值一致。各单元类型的 \(n_e\)、\(N_\alpha^e\) 的具体形式见单元编号体系与形函数库及后续章节。为避免记号繁杂，对单元类型的依赖性以逐单元上标 \(e\) 表示。

根据上述插值规则，弱形式的被积函数可以仅用单元节点值 \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) 和 \(N_\alpha^e\) 表示。另一方面，应变由插值后的位移和应变-位移关系导出，应力由该应变和材料本构关系导出，并不是直接从节点值插值得到。这些量在单元内的积分点处进行求值（数值积分）。

全局节点向量的排列规则

分配给节点的物理量在全局节点向量中按节点编号 → 自由度的顺序升序排列。若节点 \(\alpha\) 上的自由度 \(i\) 分量表示为 \(u_{i\alpha}\)，则在三维（\(i=1,2,3\)）和二维（\(i=1,2\)）中分别为

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

。坐标 \(\boldsymbol{X}^n\) 和测试函数 \(\delta\boldsymbol{u}^n\) 也遵循相同的排列方式。此后，矩阵和向量形式的推导以三维情况为代表进行描述。

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