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Formfunktionen und Finite-Elemente-Approximation

Um die schwache Form des Prinzips der virtuellen Arbeit rechnerisch behandeln zu können, wird das Gebiet des Körpers in eine endliche Anzahl von Elementen zerlegt; Materialpunktkoordinaten, Verschiebungen und Testfunktionen innerhalb eines Elements werden aus Knotenwerten und Formfunktionen interpoliert. Die räumlichen Ableitungen der Formfunktionen werden unter Räumliche Ableitungen der Formfunktionen, die Diskretisierung der schwachen Form unter Diskretisierung der virtuellen inneren Arbeit und die konkreten Formfunktionen der einzelnen Elementtypen unter Elementnummernsystem und Formfunktionsbibliothek und in den folgenden Abschnitten behandelt.

Gebietseinteilung und elementweise Summe der Integrale

Das Gebiet \(\Omega_0\) in der Referenzkonfiguration und das Gebiet \(\Omega\) in der aktuellen Konfiguration werden jeweils durch die Vereinigung der Elemente \(\Omega^e_0\) bzw. \(\Omega^e\) angenähert:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) ist die Elementnummer; Elementgrenzen werden von benachbarten Elementen gemeinsam genutzt.) Dadurch werden die Volumen- und Flächenintegrale im Prinzip der virtuellen Arbeit in Summen von Integralen über einzelne Elemente zerlegt:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Für die aktuelle Konfiguration gilt Entsprechendes mit den Ersetzungen \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) und \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Im Folgenden reduziert sich die Auswertung der schwachen Form damit auf die Konstruktion elementweiser Integrale.

Interpolation mit Knotenwerten und Formfunktionen (isoparametrische Elemente)

Jedem Element \(\Omega^e_0\) sind \(n_e\) Knoten zugeordnet. Die Koordinaten in der Referenzkonfiguration und die Knotenverschiebungen des Elementknotens \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) seien \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Die daraus gebildeten Elementknotenvektoren \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) und \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) werden aus den globalen Knotenvektoren \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) ist die Gesamtzahl der Knoten) gebildet, indem nur die Komponenten der Knoten des Elements \(e\) entnommen werden.

Mit den natürlichen Koordinaten \(\boldsymbol{r}\) als lokalen Koordinaten innerhalb des Elements werden über die Formfunktionen \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Materialkoordinaten, Verschiebung und Testfunktion im Element mit denselben Formfunktionen interpoliert (isoparametrisches Element und Galerkin-Verfahren):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Die Formfunktionen werden so konstruiert, dass sie die folgenden zwei Eigenschaften erfüllen; die Elementgeometrie wird so gewählt, dass die Abbildung \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) von den natürlichen Koordinaten auf die Materialkoordinaten innerhalb des Elements eineindeutig ist:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) ist der Punkt in natürlichen Koordinaten, der dem Knoten \(\alpha\) entspricht, und \(\delta_{\alpha\beta}\) ist das Kronecker-Delta.) Die erste Gleichung gewährleistet die Reproduzierbarkeit einer Starrkörpertranslation, die zweite, dass der interpolierte Wert an einem Knoten mit dessen Knotenwert übereinstimmt. Die konkreten Formen von \(n_e\) und \(N_\alpha^e\) für die einzelnen Elementtypen werden unter Elementnummernsystem und Formfunktionsbibliothek und in den folgenden Abschnitten angegeben. Um eine unnötig komplizierte Notation zu vermeiden, wird die Abhängigkeit vom Elementtyp durch den elementweisen hochgestellten Index \(e\) repräsentiert.

Mit den obigen Interpolationsregeln kann der Integrand der schwachen Form ausschließlich durch die Elementknotenwerte \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) und \(N_\alpha^e\) ausgedrückt werden. Die Dehnung wird dagegen aus der interpolierten Verschiebung und der Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung abgeleitet, die Spannung aus dieser Dehnung und dem Materialgesetz; diese Größen werden nicht direkt aus Knotenwerten interpoliert. Sie werden an Integrationspunkten innerhalb des Elements ausgewertet (Numerische Integration).

Anordnungsregel für globale Knotenvektoren

Physikalische Größen, die Knoten zugeordnet sind, werden im globalen Knotenvektor in aufsteigender Reihenfolge Knotennummer → Freiheitsgrad angeordnet. Sei am Knoten \(\alpha\) die Komponente des Freiheitsgrads \(i\) mit \(u_{i\alpha}\) bezeichnet; dann gilt in drei Dimensionen (\(i=1,2,3\)) bzw. zwei Dimensionen (\(i=1,2\))

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Die Koordinaten \(\boldsymbol{X}^n\) und die Testfunktion \(\delta\boldsymbol{u}^n\) folgen derselben Anordnung. Im Folgenden werden Umformungen in Matrix- und Vektorform repräsentativ für den dreidimensionalen Fall angegeben.

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