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Räumliche Ableitungen der Formfunktionen

Die in Formfunktionen und Finite-Elemente-Approximation eingeführten Formfunktionen \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) sind als Funktionen der natürlichen Koordinaten \(\boldsymbol{r}\), der lokalen Koordinaten des Elements, gegeben. Andererseits treten im Integranden der schwachen Form über die Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung partielle Ableitungen nach den physikalischen Koordinaten (Referenzkonfiguration \(\boldsymbol{X}\) oder aktuelle Konfiguration \(\boldsymbol{x}\)) auf, nämlich \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) bzw. \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). In diesem Kapitel wird das Verfahren zur Berechnung dieser räumlichen Ableitungen der Formfunktionen aus den Elementknotenkoordinaten und den Ableitungen nach den natürlichen Koordinaten zusammengestellt.

Darstellung der räumlichen Ableitung durch die Kettenregel

Wendet man unter der Interpolationsformel \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (vorheriges Kapitel) die Kettenregel an und verwendet die Jacobi-Matrix \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) der Abbildung von den natürlichen Koordinaten auf die physikalischen Koordinaten, so erhält man

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Hierbei sind \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) und \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) Matrizen, deren Zeile \(\alpha\) den Vektor der partiellen Ableitung für Knoten \(\alpha\) darstellt; jede ist eine \(n_e \times 3\)-Matrix.

Aufbau der Jacobi-Matrix

Differenziert man die Interpolationsformel nach \(\boldsymbol{r}\), so ergibt sich

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Damit lässt sich die Jacobi-Matrix direkt aus den Elementknotenkoordinaten \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) und den Ableitungen nach den natürlichen Koordinaten \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) konstruieren. Die Ableitungen nach den natürlichen Koordinaten sind durch die Funktionsform der Formfunktionen bestimmt und werden für jeden Elementtyp im Voraus implementiert.

Die Determinante der Jacobi-Matrix \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) wird bei der numerischen Integration zur Transformation des Volumenelements gemäß \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) verwendet. Wird die Determinante \(0\), so ist das Element entartet, und die Berechnung schlägt fehl.

Berechnungsablauf

Aus der obigen Herleitung lässt sich die Berechnung der räumlichen Ableitungen \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) in die folgenden vier Stufen unterteilen.

  1. Berechnung der Ableitungen nach den natürlichen Koordinaten: Mit dem Elementtyp und den natürlichen Koordinaten \(\boldsymbol{r}\) des Auswertungspunkts als Eingabe wird die Matrix der Ableitungen nach den natürlichen Koordinaten \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) berechnet. Da sich die Funktionsform der Formfunktionen je Elementtyp unterscheidet, verzweigt die Verarbeitung nach dem Elementtyp.
  2. Berechnung der Jacobi-Matrix: Aus den Elementknotenkoordinaten \(\boldsymbol{X}^e\) und \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) wird mit der Gleichung aus dem vorherigen Abschnitt die Jacobi-Matrix \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) zusammengesetzt.
  3. Berechnung von Inverse und Determinante: Die Inverse \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) und die Determinante der Jacobi-Matrix werden berechnet. Die Determinante wird für die Gewichtung bei der numerischen Integration verwendet.
  4. Berechnung der räumlichen Ableitungen: Aus \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) und \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) erhält man als deren Produkt die räumlichen Ableitungen \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\).

Diese vier Stufen verzweigen je nach Elementtyp und Raumdimension (zwei- oder dreidimensional), der Gesamtablauf ist jedoch gemeinsam.

Gemeinsame Behandlung von Referenz- und aktueller Konfiguration

Das obige Verfahren lässt sich ebenso anwenden, indem \(\boldsymbol{X}^e\) einfach durch die Knotenkoordinaten der aktuellen Konfiguration \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ersetzt werden, um die räumlichen Ableitungen \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) in der aktuellen Konfiguration zu erhalten. Somit kann dasselbe Verfahren zwischen der Total-Lagrange- und der Updated-Lagrange-Formulierung gemeinsam genutzt werden, indem lediglich die eingegebenen Knotenkoordinaten ausgetauscht werden.

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