Prinzip der virtuellen Arbeit¶

Ausgehend von der in Spannung und Erhaltungssätze hergeleiteten Gleichgewichtsbedingung und den Randbedingungen leiten wir das Prinzip der virtuellen Arbeit als schwache Form des kontinuumsmechanischen Randwertproblems her. Die Finite-Elemente-Diskretisierung geht von dieser schwachen Form aus. Dieses Kapitel stellt sowohl die Formulierung in der aktuellen Konfiguration (mit Cauchy-Spannung und dem linearen Anteil der Almansi-Dehnung) als auch die Formulierung in der Referenzkonfiguration (mit zweiter Piola-Kirchhoff-Spannung und Green-Lagrange-Dehnung) dar, zeigt deren Äquivalenz und bestätigt anschließend die Reduktion auf kleine Verformungen.

Gleichgewichtsgleichung und Randbedingungen¶

Sei \(\boldsymbol{g}\) die pro Masseneinheit auf das Kontinuum wirkende Volumenkraft, und betrachten wir einen Körper, der in der aktuellen Konfiguration das Gebiet \(\Omega\) einnimmt. Der Rand \(\Gamma\) wird in den geometrischen Rand \(\Gamma_B\), auf dem die Verschiebung als \(\bar{\boldsymbol{u}}\) vorgeschrieben ist, und den mechanischen Rand \(\Gamma_t\), auf dem die Flächenkraft als \(\bar{\boldsymbol{t}}\) vorgeschrieben ist, zerlegt, wobei \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) und \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) gilt. Für ein statisches Problem ergibt sich die Gleichgewichtsgleichung durch Weglassen des Trägheitsterms aus dem in Spannung und Erhaltungssätze dargestellten Impulserhaltungssatz:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Die Randbedingungen lauten

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{auf} \ \Gamma_t \]

\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{auf} \ \Gamma_B \]

Im Folgenden wird das Prinzip der virtuellen Arbeit als schwache Form der Gleichgewichtsgleichung und der mechanischen Randbedingung \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) hergeleitet. Die geometrische Randbedingung \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) wird über die Wahl der Testfunktion berücksichtigt.

Schwache Form in der aktuellen Konfiguration¶

In der schwachen Form definieren wir den zulässigen Raum der unbekannten Verschiebung bzw. den Raum der Testfunktionen als

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{auf} \ \Gamma_B \} \]

\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{auf} \ \Gamma_B \} \]

Dabei ist \(d\) die räumliche Dimension, \(H^1(\Omega)\) der Sobolev-Raum der Funktionen, die zusammen mit ihren ersten schwachen Ableitungen quadratintegrierbar sind, und \(\delta\) bezeichnet eine Variation. In der Darstellung der aktuellen Konfiguration ist \(\Omega\) die verformte Konfiguration; bei einer tatsächlichen numerischen Lösung wird sie auf die Referenzkonfiguration oder auf eine bekannte Zwischenkonfiguration zurückgeführt.

Multipliziert man die Gleichgewichtsgleichung mit dem Gewicht \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) und wendet den Gaußschen Integralsatz sowie die mechanische Randbedingung an, erhält man das folgende Prinzip der virtuellen Arbeit in der aktuellen Konfiguration.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Dabei ist \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) der lineare Anteil des Almansi-Dehnungstensors, definiert durch

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Seine Variation lautet \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Gesucht ist somit \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), sodass die Gleichung der virtuellen Arbeit für jedes \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) erfüllt ist. Die linke Seite ist die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte, die rechte Seite die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte infolge vorgeschriebener Flächen- und Volumenkräfte.

Da diese Gleichung über dem verformten Gebiet (aktuelle Konfiguration) formuliert ist, wählt ein tatsächliches Lösungsverfahren die Anfangskonfiguration \(\Omega_0\) (Referenzkonfiguration) oder eine bekannte Zwischenkonfiguration erneut als Referenzkonfiguration, formuliert die Gleichung in inkrementeller Form und löst sie anschließend. Zur konkreten Wahl der Referenzkonfiguration (Total Lagrange / Updated Lagrange) und zur inkrementellen Zerlegung siehe Rahmen der inkrementellen Analyse.

Schwache Form in der Anfangskonfiguration¶

Betrachten wir einen Körper, der in der Referenzkonfiguration das Gebiet \(\Omega_0\) einnimmt und dessen Rand \(\Gamma_0\) in \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) zerlegt ist. Durch Zurückführen der Darstellung in der aktuellen Konfiguration auf die Referenzkonfiguration erhält man das konjugierte Spannungs-Dehnungs-Paar aus zweiter Piola-Kirchhoff-Spannung \(\boldsymbol{S}\) und Green-Lagrange-Dehnung \(\boldsymbol{E}\). Das Prinzip der virtuellen Arbeit in der Anfangskonfiguration lautet dann

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Dabei ist \(\rho_0\) die Massendichte in der Referenzkonfiguration; aufgrund der Massenerhaltungsbeziehung \(\rho_0 = J\rho\) ist diese Darstellung zur Volumenkraftdarstellung in der aktuellen Konfiguration äquivalent.

Äquivalenz der Darstellungen in aktueller und Anfangskonfiguration¶

Die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte stimmt in beiden Darstellungen über die Transformation mit dem Deformationsgradienten \(\boldsymbol{F}\) und dem Volumenverhältnis \(J = \det \boldsymbol{F}\) überein, nämlich

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Auch die Terme der äußeren Kräfte sind aufgrund der Massenerhaltung und der Transformation der Flächenkräfte äquivalent. Somit drücken die Gleichung der virtuellen Arbeit in der aktuellen Konfiguration und jene in der Anfangskonfiguration dasselbe Prinzip in unterschiedlichen Konfigurationen aus. Ein Lösungsverfahren, das sich auf die Referenzkonfiguration bezieht, entspricht der Total-Lagrange-Methode, während ein Lösungsverfahren, das sich auf die aktuelle Konfiguration (die unmittelbar vorhergehende konvergierte Konfiguration) bezieht, der Updated-Lagrange-Methode entspricht.

Reduktion auf kleine Verformungen¶

Unter den Annahmen kleiner Verformungen \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) und \(J \approx 1\) verschwindet der Unterschied zwischen aktueller und Referenzkonfiguration, die zweite PK-Spannung stimmt mit der Cauchy-Spannung überein (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), und sowohl die Green-Lagrange-Dehnung als auch der lineare Anteil der Almansi-Dehnung gehen in die infinitesimale Dehnung \(\boldsymbol{\varepsilon}\) über.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Das Prinzip der virtuellen Arbeit reduziert sich damit auf die schwache Form in Cauchy-Spannung \(\boldsymbol{\sigma}\) und infinitesimaler Dehnung \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{auf} \ \Gamma_B \]

Dies ist die schwache Form, die bei der linear-elastischen statischen Analyse mit kleinen Verformungen unmittelbar zur Diskretisierung verwendet wird (Linear-elastische statische Analyse (Einführung und Anhang) geht von dieser Form aus und zeigt den Aufbau der Elementsteifigkeit \(\boldsymbol{K}^e\) durch Assemblierung der globalen Gleichung \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Setzt man das linear-elastische Stoffgesetz \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ein und schreibt \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) in Voigt-Notation, erhält man für die schwache Form

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

in dieser Form.