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Princípio dos trabalhos virtuais

Com base na equação de equilíbrio e nas condições de fronteira derivadas em Tensão e leis de conservação, deriva-se o princípio dos trabalhos virtuais, que constitui a forma fraca do problema de valores de fronteira da mecânica dos meios contínuos. A discretização pelo método dos elementos finitos parte desta forma fraca. Este capítulo apresenta tanto a formulação na configuração atual (expressa pela tensão de Cauchy e pela parte linear da deformação de Almansi) como a formulação na configuração de referência (expressa pela segunda tensão de Piola-Kirchhoff e pela deformação de Green-Lagrange), demonstra a equivalência entre ambas e, por fim, confirma a redução ao regime de pequenas deformações.

Equação de equilíbrio e condições de fronteira

Seja \(\boldsymbol{g}\) a força de corpo que atua no contínuo por unidade de massa, e considere-se um corpo que ocupa o domínio \(\Omega\) na configuração atual. A fronteira \(\Gamma\) divide-se na fronteira geométrica em que o deslocamento é prescrito como \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), e na fronteira mecânica em que a tração superficial é prescrita como \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), sendo \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) e \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Num problema estático, considera-se a equação de equilíbrio obtida eliminando o termo de inércia da lei de conservação da quantidade de movimento apresentada em Tensão e leis de conservação:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{em} \ \Omega \]

como equação de equilíbrio. As condições de fronteira são

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{em} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{em} \ \Gamma_B \]

Daqui em diante, o princípio dos trabalhos virtuais é derivado como forma fraca da equação de equilíbrio e da condição de fronteira mecânica \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). A condição de fronteira geométrica \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) é incorporada pela escolha da função de teste.

Forma fraca na configuração atual

Na forma fraca, definem-se, respetivamente, o espaço admissível do deslocamento desconhecido e o espaço das funções de teste como

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{em} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{em} \ \Gamma_B \} \]

onde \(d\) é a dimensão espacial, \(H^1(\Omega)\) é o espaço de Sobolev de funções quadraticamente integráveis juntamente com as suas primeiras derivadas fracas, e \(\delta\) representa a variação. Na formulação na configuração atual, \(\Omega\) corresponde à configuração deformada; num método numérico efetivo, esta é transformada para a configuração de referência ou para uma configuração intermédia conhecida.

Multiplicando a equação de equilíbrio pelo peso \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) e aplicando o teorema da divergência de Gauss e a condição de fronteira mecânica, obtém-se o seguinte princípio dos trabalhos virtuais na configuração atual.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Aqui, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) é a parte linear do tensor de deformação de Almansi, definida por

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

A sua variação é \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Assim, procura-se \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tal que a equação dos trabalhos virtuais seja satisfeita para qualquer \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). O lado esquerdo representa o trabalho virtual das forças internas, e o lado direito o trabalho virtual das forças externas devido às trações prescritas e às forças de corpo.

Como esta equação está escrita no domínio deformado (configuração atual), num procedimento de solução efetivo seleciona-se novamente a configuração inicial \(\Omega_0\) (configuração de referência) ou uma configuração intermédia conhecida como configuração de referência, reescreve-se a equação em forma incremental e só depois se resolve. Consulte Estrutura da análise incremental para a escolha concreta da configuração de referência (Total Lagrange / Updated Lagrange) e para a decomposição incremental.

Forma fraca na configuração inicial

Considere-se um corpo que ocupa o domínio \(\Omega_0\) na configuração de referência, dividindo-se a sua fronteira \(\Gamma_0\) em \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Ao transformar a formulação da configuração atual para a configuração de referência, o par conjugado tensão-deformação passa a ser constituído pela segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e pela deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). O princípio dos trabalhos virtuais na configuração inicial é então

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

onde \(\rho_0\) é a densidade de massa na configuração de referência e, pela relação de conservação da massa \(\rho_0 = J\rho\), esta expressão é equivalente à representação da força de corpo na configuração atual.

Equivalência entre as formulações nas configurações atual e inicial

O trabalho virtual das forças internas nas duas formulações coincide através da transformação pelo gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\) e pela razão volumétrica \(J = \det \boldsymbol{F}\); isto é,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Os termos das forças externas são igualmente equivalentes pela conservação da massa e pela transformação das trações. Assim, a equação dos trabalhos virtuais na configuração atual e a equação dos trabalhos virtuais na configuração inicial exprimem o mesmo princípio em configurações diferentes. Um método de solução que toma como referência a configuração de referência corresponde ao método Total Lagrange, enquanto um método que toma como referência a configuração atual (a configuração convergida imediatamente anterior) corresponde ao método Updated Lagrange.

Redução ao regime de pequenas deformações

Sob as hipóteses de pequenas deformações \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) e \(J \approx 1\), desaparece a distinção entre a configuração atual e a configuração de referência, a segunda tensão PK coincide com a tensão de Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), e tanto a deformação de Green-Lagrange como a parte linear da deformação de Almansi se reduzem à deformação infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

O princípio dos trabalhos virtuais reduz-se então à forma fraca expressa em termos da tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e da deformação infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{em} \ \Gamma_B \]

Esta é a forma fraca utilizada diretamente na discretização de uma análise estática elástica linear com pequenas deformações (Análise estática elástica linear (Introdução e Apêndice) parte desta forma e apresenta a construção da rigidez do elemento \(\boldsymbol{K}^e\) até à montagem da equação global \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Substituindo a lei constitutiva elástica linear \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) e escrevendo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) em notação de Voigt, a forma fraca torna-se

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

assumindo esta forma.

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