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Estrutura da análise incremental

Necessidade da análise incremental

Como descrito acima, na análise de problemas de pequenas deformações, a análise por elementos finitos pode ser efetuada utilizando o princípio do trabalho virtual, equivalente às equações fundamentais como as equações de equilíbrio, e discretizando esta equação com elementos finitos. O mesmo princípio básico do trabalho virtual também é utilizado na análise de problemas de deformações finitas que envolvem grandes deformações das estruturas.

No entanto, em problemas de deformações finitas, mesmo que se assuma a linearidade do material, a equação do princípio do trabalho virtual torna-se não linear relativamente ao deslocamento. Para resolver equações não lineares, efetuam-se geralmente cálculos iterativos utilizando um método iterativo.

Nestes cálculos iterativos, utiliza-se um método de análise incremental em que o cálculo é efetuado por partes para pequenos incrementos de carga, acumulando-os até atingir o estado deformado final. Quando se assume um problema de pequenas deformações, não se faz qualquer distinção particular entre as configurações antes e depois da deformação ao definir extensão e tensão. Isto é, sob a hipótese de pequenas deformações, não importa se a configuração utilizada para descrever as equações fundamentais é a configuração anterior ou posterior à deformação.

Quando é efetuada uma análise incremental para um problema de deformações finitas, a formulação difere consoante se adote como configuração de referência a configuração inicial ou a configuração no início do incremento. A primeira é denominada método Total Lagrange e a segunda método Updated Lagrange. Para obter detalhes, consulte as referências no final do capítulo e o material relacionado.

Equação de partida: princípio do trabalho virtual no instante \(t'\)

Considere uma análise incremental em que o estado até ao instante \(t\) é conhecido e o estado no instante \(t' = t + \Delta t\) é desconhecido (consulte a Figura 2.2.1). As equações de equilíbrio, as condições de fronteira e o princípio do trabalho virtual no instante \(t'\) (expressos na configuração atual utilizando a tensão de Cauchy \(^{t'}\sigma\) e a parte linear da extensão de Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) são dados em Princípio do trabalho virtual.

Conceito de análise incremental

Figura 2.2.1 Conceito de análise incremental

No entanto, como esta equação de partida está escrita na configuração (desconhecida) no instante \(t'\), o procedimento efetivo de resolução seleciona como configuração de referência a configuração inicial \(V\) no instante \(0\) ou a configuração atual \(^{t'} v\) no instante \(t\), reescreve a equação em forma incremental e só depois a resolve:

  • Método Total Lagrange — Utiliza a configuração inicial \(V\) como referência. São utilizadas a segunda tensão PK \(\boldsymbol{S}\) e a extensão de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
  • Método Updated Lagrange — Utiliza como referência a configuração atual \(^{t}v\) no início do incremento. São utilizadas a tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e a parte linear da extensão de Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Para a discretização espacial de ambas as formulações (matriz B e vetor de forças internas), consulte Discretização do trabalho virtual interno; para a linearização e construção da rigidez tangente, consulte Matriz de rigidez tangente.

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