Перейти к содержанию

Схема инкрементного анализа

Необходимость инкрементного анализа

Как описано выше, при анализе задач малых деформаций конечно-элементный анализ может выполняться с использованием принципа виртуальных работ, эквивалентного основным уравнениям, таким как уравнения равновесия, с последующей дискретизацией этого уравнения конечными элементами. Тот же основной принцип виртуальных работ используется и при анализе задач конечных деформаций, связанных с большими деформациями конструкций.

Однако в задачах конечных деформаций, даже если предполагается линейность материала, уравнение принципа виртуальных работ становится нелинейным относительно перемещения. Для решения нелинейных уравнений обычно выполняются итерационные вычисления с использованием итерационного метода.

В этих итерационных вычислениях применяется метод инкрементного анализа, при котором расчет выполняется по частям для малых приращений нагрузки, а приращения накапливаются до достижения конечного деформированного состояния. При допущении малых деформаций при определении деформаций и напряжений не проводится специального различия между конфигурациями до и после деформирования. Иными словами, при допущении малых деформаций несущественно, используется ли для описания основных уравнений конфигурация до или после деформирования.

При выполнении инкрементного анализа задачи конечных деформаций формулировка различается в зависимости от того, принимается ли в качестве опорной конфигурации начальная конфигурация или конфигурация в начале приращения. Первая называется методом полной лагранжевой формулировки, а вторая — методом обновленной лагранжевой формулировки. Подробности см. в литературе в конце главы и в связанных материалах.

Исходное уравнение: принцип виртуальных работ в момент времени \(t'\)

Рассмотрим инкрементный анализ, в котором состояние до момента времени \(t\) известно, а состояние в момент \(t' = t + \Delta t\) неизвестно (см. рисунок 2.2.1). Уравнения равновесия, граничные условия и принцип виртуальных работ в момент \(t'\) (выраженные в текущей конфигурации с использованием напряжения Коши \(^{t'}\sigma\) и линейной части деформации Альманси \(^{t'} A_{(L)}\)) приведены в разделе Принцип виртуальных работ.

Концепция инкрементного анализа

Рисунок 2.2.1 Концепция инкрементного анализа

Однако, поскольку это исходное уравнение записано в (неизвестной) конфигурации в момент времени \(t'\), в фактической процедуре решения в качестве опорной выбирается либо начальная конфигурация \(V\) в момент времени \(0\), либо текущая конфигурация \(^{t'} v\) в момент времени \(t\), после чего уравнение переписывается в инкрементной форме и решается:

  • Метод полной лагранжевой формулировки — в качестве опорной используется начальная конфигурация \(V\). Используются второе напряжение Пиолы — Кирхгофа \(\boldsymbol{S}\) и деформация Грина — Лагранжа \(\boldsymbol{E}\).
  • Метод обновленной лагранжевой формулировки — в качестве опорной используется текущая конфигурация \(^{t}v\) в начале приращения. Используются напряжение Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) и линейная часть деформации Альманси \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Для пространственной дискретизации обеих формулировок (матрица B и вектор внутренних сил) см. Дискретизация внутренних виртуальных работ; для линеаризации и построения касательной жесткости см. Матрица касательной жесткости.

Связанные темы